求最大公因数的若干方法
2016-03-07 23:25
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题目:设计出求解两个整数m和n的最大公因数,记为(m,n)
性能分析:直接试探法简单易懂,然而,该方法时间性能不佳:由于要试探2~min(m,n)中的每个数是否是公因子,当m和n较大时试探的次数较多,比较费时;此外,当m和n有较多公因子时,也仅最后求出的公因子是所需要的解。
针对该问题,我们可以改变试探次序来加以改进,以下为函数代码块。
性能分析:该算法在m和n存在较大公因子时效率较高,但同样在m和n互质时,试探次数便会大大增加,影响该算法的效率。
性能分析:如果m和n有多个公因子,则函数求解的比较次数会急剧减少。然而,当m和n都较大并且公因子较少时,尤其是两数互质时,试探的次数将达到min(m,n).
性能分析:该方法无论m n是否互质都能快速求解出最大公因数,时间性能甚佳,是较为理想且最为常用的方法。
总结:通常一个问题有多种求解的算法,我们都应尽量熟练掌握,并学会分析不同算法的试用场合及其算法复杂度,以达到最优的求解目的,同时也能使我们对问题有了更深刻的理解。求最大公因数是一个非常基础的问题,但是所谓“万丈高楼平地起”,我们只有夯实基础,才能在编程之路上越走越远!
方法1:直接试探法
依次取2~min(m,n)中的每个数来判断是否同时是m和n的公因子,最后一个满足条件的数即为所求的最大公因数。若没有找到,则其最大公因子为1。 **算法分析**:由于要求最大公因数,不妨以函数求解。设函数为int hcf(int m,int n),则该函数应有返回值,此处记为h;由于不满足判断条件(即两数互质)时,h没有经过迭代,故应将其值初始化为1。该函数最核心的部分为判断条件,当然这部分也不难:以外循环遍历2~min(m,n)的所有数,于是应设一循环变量i,循环体中用if语句判断i是否同时被m和n整除。 以下为完整代码。
#include<iostream> using namespace std; int hcf(int m,int n) { int h = 1; for(int i = 2;i <= min(m,n); i++) if(m % i == 0&&n % i == 0) h = i; return h; } int main() { int m,n; cout<<"请输入m和n的值:"; cin>>m; cin>>n; cout<<"m和n的最大公因数为:"<<hcf(m,n)<<endl; return 0; }
性能分析:直接试探法简单易懂,然而,该方法时间性能不佳:由于要试探2~min(m,n)中的每个数是否是公因子,当m和n较大时试探的次数较多,比较费时;此外,当m和n有较多公因子时,也仅最后求出的公因子是所需要的解。
针对该问题,我们可以改变试探次序来加以改进,以下为函数代码块。
int hcf(int m,int n) { int h = min(m,n); while(m % h != 0||n % h != 0) //当出现公因子时即退出循环 h--; return h; }
性能分析:该算法在m和n存在较大公因子时效率较高,但同样在m和n互质时,试探次数便会大大增加,影响该算法的效率。
方法2:质因子分解法
该算法描述如下:从2开始,依次寻找整数m和n的当前的公因子,每找到一个公因子(记为h),则将m和n都整除h,从而得到新的m和n的值,重复上述步骤,将每一次得到的h都相乘,直到确定当前的m和n不存在公因子为止。 以下为函数代码块。
int hcf(int m,int n) { int h = 1,i = 2; while(i <= min(m,n)) if(m % i == 0&&n % i == 0){ m = m / i; n = n / i; h = h * i; }else i ++; return h; }
性能分析:如果m和n有多个公因子,则函数求解的比较次数会急剧减少。然而,当m和n都较大并且公因子较少时,尤其是两数互质时,试探的次数将达到min(m,n).
方法3:辗转相除法
该算法又被称为“欧几里德算法”。算法描述如下:设两数m和n(m>n),置r=m%n,再令m=n,n=r,重复上述过程,直到r=0,此时所得的n即为最大公因数。 以下给出一个十分精妙的函数代码。
int hcf(int m,int n) { if(m < n)return hcf(n,m);//保证m比n更大 if(m % n == 0)return n; return hcf(n,m % n);//递归 }
性能分析:该方法无论m n是否互质都能快速求解出最大公因数,时间性能甚佳,是较为理想且最为常用的方法。
总结:通常一个问题有多种求解的算法,我们都应尽量熟练掌握,并学会分析不同算法的试用场合及其算法复杂度,以达到最优的求解目的,同时也能使我们对问题有了更深刻的理解。求最大公因数是一个非常基础的问题,但是所谓“万丈高楼平地起”,我们只有夯实基础,才能在编程之路上越走越远!
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