最大公约数求法

（PS：如果发现哪里错误，欢迎指出，万分感谢！！！）

定义:

公约数：设 a1,a2,.....,an（n>=2）个整数。若整数d是它们中每一个数的因数，则 d 就叫做a1,a2,……,an的一个公因数。

最大公因数：如果整数a1,a2,.......,an不全为0，那么整数a1,a2,.......,an的所有公因数中最大的一个公因数就叫做最大公因数，记作（a1,a2,.......,an）。

某些简单性质：

1. 设b是任一整数，则（0，b）= b；

2.同上，（1，b） = 1；

3.设a，b是任一整数，则（a，b） = （a，b）；

4.设a，b是任意两个不全为0的整数，

（1.）若m是任一整数，则（m×a，m×b） = m×（a，b）；

方法：

广义欧几里德除法（辗转相除法）：

定理： 设a，b，c是三个不全为零的整数。如果

a = q × b + c ；

其中 q 是整数，则（a，b） = （b，c）.

基于以上定理，求a，b的最大公因数，只需要判断 c = a % b 是否等于0即可，如果c不等于0，就往下除，将a换成b，b换成c 即判断 b % c 是否等于0。只要c = 0，则a，b的最大公因数一定是 b；

例：求(1859,1573)：

1859 = 1 ×1573 + 286； /// 286 = 1859 % 1573

1573 = 5 × 286 + 143； /// 143 = 1573 % 286

286 = 2 × 143 + 0； /// 0 = 286 % 143

所以 （1859，1573） = 143；

以下为代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int gcd_2(int a,int b){           /// 求两个数的最大公约数
if(!a) return b;              ///性质1
if(!b) return a;
if(a == 1 || b == 1) return 1;    ///性质2
int c = a % b;
return c == 0 ? b : gcd_2(b,c);
}
int gcd_3(int a,int b,int c){     /// 求三个数的最大公约数
return gcd_2( gcd_2(a,b), gcd_2(a,c) );
}
int main()
{
int x,y,z;
while(~scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)){
printf("%d %d ",gcd_2(x,y),gcd_2(x,z));
printf("%d\n",gcd_3(x,y,z));
}
return 0;
}

最大公因数的进一步性质：

设a，b，c 是三个整数，且b != 0 , c != 0.如果（a，c） = 1， 则 (ab , c) = ( b , c)。

多个整数的最大公因数的计算：

设a1 ， a2 ， ……，an是n 个整数，且a1 != 0 。令

（a1，a2）= d2，（d2，a3）= d3，……，（dn-1，an）= dn

则（a1，a2，a3，……，an）= dn；

#include <iostream>
using namespace std;

int a[100000];
int gcd_2(int a,int b){      //求2个数的最大公因数
if(!a) return b;
if(!b) return a;
if(a == 1 || b == 1) return 1;
int c = a % b;
return c == 0 ? b : gcd_2(b,c);
}
int gcd_n(int a[],int n){    //求多个数的最大公因数
int d = gcd_2(a[1],a[2]);
for(int i = 2; i <= n; ++i)
d = gcd_2(d,a[i]);
return d;
}
int main(int argc, char *argv[]) {
int n;
cin>>n;
for(int i = 1; i <= n; ++i) cin>>a[i];
cout<<gcd_n(a,n)<<endl;
return 0;
}

对于2^a - 1 的整数的最大公因数

设a，b是2个整数，则2^a - 1 和 2^b - 1 的最大公因数是 2^(a , b) - 1

对于最大公约数求s，t。

即 a，b的最大公约数，一定存在2个正数满足 s×a + t × b = （a，b）。求s，t 的方法：（自己花了一下午总结出来的做法，其实还有更简单的方法，大家可以百度）

此公式基于欧几里德辗转相除法

满足公式： a0 = (1)

a1 = (2)*a0 + 1

a2 = (3)*a1 + a0;

a3 = (4)*a2 + a1;

.......

a(n-1) = (n)*a(n-2) + a(n-3);

（n） 代表了 辗转相除的每一步的除数，即 （n）= a / b (a , b 参见上面gcd_2（a，b） 函数里的每一步的a，b)

求得 s = a(n-2) ； t = a(n-1); 如果n是奇数，则s是正的，t是负的；反之，s是负的，t是正的

举个栗子：

求（44350，20785）的 s，t ：

辗转相除法的步骤是：

44350 = 2×20785 + 2780 （5）= 2 a4 = (5) * a3 + a2 = 2 * 800 + 107 = 1707

20785 = 7×2780 + 1325 （4） = 7 a3 = (4)* a2 + a1 = 7 * 107 + 51 = 800

2780 = 2×1325 + 130 （3） = 2 a2 = (3) * a1 + a0 = 2 * 51 + 5 = 107

1325 = 10×130 + 25 （2）= 10 a1 = (2)*a0 + 1 = 10 * 5 + 1 = 51

130 = 5*25 + 5 （1）= 5 a0 = （1） = 5

25 = 5*5 + 0

所以（44350，20785） = 5； s = a3 = 800 ; t = a4 = -1707 ( n = 5是奇数)

所以 （44350，20785） = 5 = 44350×800 - 1707 × 20785