最大的最小公倍数
2016-03-07 09:40
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题目描述
高中时我们对最小公倍数就已经很熟悉了,相信你很快就可以把这个问题解决。这次的问题是:给你一个正整数n,任取三个不大于n的正整数,取法不限,每个数可取多次,使得取到的这三个数的最小公倍数在所有取法中是最大的。例如当n = 5 时,不大于5的数为1、2、3、4、5。则应该选3、4、5三个数,它们的最小公倍数是60,在所有取法中是最大的。因此我们得到结果60。
是不是很简单?抓紧时间 AC 吧。
输入
输入包含多组测试数据。每组数据为一个正整数n(1≤n≤10^6)。输出
对每组测试数据,输出一个整数,代表所有可能取法中,选出的三个数的最小公倍数的最大值。样例输入
5 7
样例输出
60210
这个题的意思就是要我们在1~N的范围内找三个数,使他们的最小公倍数在这个范围内的组合是最大的。那么你的第一印象是什么的?我的第一印象是找三个两两互质的数,这样只需要相乘即可,就没有需要约分的地方。
接下来先说一个结论:大于1的两个相邻的自然数必定互质。
而对于1~N的范围,肯定是 n*(n-1)*(n-2)的乘积最大、如果这三个数还两两互质的话那就最棒了。
如果n是奇数,那么 n、n-1、n-2必定两两互质,要是有些纠结的话,那么我们就分析在什么情况下可能会存在公因子。n是奇数,那么n,n-1,n-2一定是两奇加一偶的情况。公因子2直接pass,因为只有一个偶数。假设剩下的n,n-2中有一个数能被3整除,那么有公因子的数一定是n或n-2加减3才能得到的情况。为此,n,n-1,n-2的乘积不仅是最大的,而且一定两两互质。
如果n是偶数,继续分析n*(n-1)*(n-2),这样的话n和n-2必定有公因子2,那么就换成式子n*(n-1)*(n-3)。然后仔细思考一下,不行啊,若偶数本身就能被3整除的话,那么式子n*(n-1)*(n-3)也不成立了,n和n-3就有公因子3,再仔细思考一下,式子就变成了(n-1)*(n-2)*(n-3),两奇夹一偶的情况。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
long long n;
while(cin >> n){
if(n<=2){
printf("%lld\n",n);
continue;
}
if(n%2==1){
printf("%lld\n",n*(n-1)*(n-2));
}
else{
if(n%3==0){
printf("%lld\n",(n-3)*(n-1)*(n-2));
}
else{
printf("%lld\n",n*(n-1)*(n-3));
}
}
}
return 0;
}
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