dp学习

给定一个m行n列的矩阵，矩阵每个元素是一个正整数，你现在在左上角（第一行第一列），你需要走到右下角（第m行，第n列），每次只能朝右或者下走到相邻的位置，不能走出矩阵。走过的数的总和作为你的得分，求最大的得分。

输入

第1行：N，N为矩阵的大小。(2 <= N <= 500)

第2 - N + 1行：每行N个数，中间用空格隔开，对应格子中奖励的价值。（1 <= N[i] <= 10000)

输出

输出能够获得的最大价值。

输入示例

3

1 3 3

2 1 3

2 2 1

输出示例

11

dynamic programming中的programming不是指编程而是指表格法。与分治法用于解决含有互不相交的子问题的不同，动态规划用于子问题重叠的问题。（分治法会反复求解公共子问题，而动态规划对每个子问题只求解一次，并将其保存到一个表格中）

动态规划通常用来解最优化问题。这类问题可以有很多可行解，每个解都有一个值，我们希望寻找具有最优值的解（max or min)。注意：我们称这样的解为问题的一个最优解，而非最优解，因为可能有多个解都达到最优值。——《算法导论》

最优子结构性质：问题的最优解由相关子问题（规模变小了）的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。

对于这道题利用最优子结构性质求解：设在从起点s到终点e的路径中，经过了点t(x,y)，记f(x,y)为取到的最大价值，此过程中s到t也是最优路径，且t点的上一个点，要么是(x-1,y)要么是(x,y-1)。

据此可以得到状态转换方程，用于求解该问题：

f(x,y)：

-1，x=0||y=0（因为这是一个达不到的状态）

value[1][1] , x=1&&y=1(起点）

Max(f(x-1,y),f(x,y-1)) + values[x][y]

教程

import java.util.Scanner;

public class Main {

static int n;
static int[][] values = new int[550][550];
static int[][] dp = new int[550][550];

public static void show(){
System.out.println("Output:");
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++) System.out.print(values[i][j]+" ");
System.out.println();
}
}

public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in = new Scanner(System.in);
while(in.hasNext()){
n = in.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++) values[i][j] = in.nextInt();
}
//show();
//initDp();
int ans = 0;
for(int x=1;x<=n;x++){
for(int y=1;y<=n;y++){
if(x==0||y==0) dp[x][y] = -1;
else if(x==1&&y==1) dp[x][y] = values[x][y];
else dp[x][y] = Math.max(dp[x-1][y], dp[x][y-1]) + values[x][y];
if(ans<dp[x][y]) ans = dp[x][y];
}
}
System.out.println(ans);
}
}

}