【背包问题】

01背包

二维这样写

for (int i=1;i<=m;i++)
for (int j=w[i];j<=t;j++){
a[i][j]=a[i-1][j];
if (j-w[i]>=0)a[i][j]=max(a[i-1][j],a[i-1][j-w[i]]+v[i]);

因为很长时间没写，受一维的影响，一开始写成了这样

for (int i=1;i<=m;i++)
for (int j=w[i];j<=t;j++)
a[i][j]=max(a[i-1][j],a[i-1][j-w[i]]+v[i]);

需要注意的是，a[i][1~w[i]]没值啊没值啊没值啊（是栋栋发现的！栋栋太厉害了！）

for (int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=0;j<w[i];j++)
a[i][j]=a[i-1][j];
for (int j=w[i];j<=t;j++)
a[i][j]=max(a[i-1][j],a[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}

这是栋栋改的，所以我要存下来
一维

j是从m循环到w[i](省去判断了，不用担心上面那个问题)

为什么倒着循环？

省略了第一维,在二维数组中，我们是由a[i-1][j-w[i]]更新a[i][j]的

a[j]=max(a[j],a[j-w[i]]+v[i]);

推a[j]需要用到a[j-w[i]],显然j-w[i]<j，如果正着循环，就相当于用a[i][j-w[i]]更新a[i][j]了

for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=m;j>=w[i];j--)
a[j]=max(a[j],a[j-w[i]]+v[i]);

如果要把背包装满呢？

那就把a[0]初始化为0，a[1~n]初始化为-∞。

a[0]相当于装满了容量为0的背包，价值为0，是合法状态。

a[1~n]全是不合法的状态。

在循环过程中，如果a[j-w[i]]是合法的状态，那么a[j]就是合法的状态。

（上面是小敏颜告诉我的）

而对于普通的背包，全部初始为0，就是全都合法。

完全背包

和01背包的区别是一种物品可以放无限次。所以刚才说的倒着循环，就没必要了。

因为既然可以放无限次，就不用考虑上一次到底是放还是没放了。

for (int i=1;i<=m;i++)
for (int j=w[i];j<=t;j++)
a[j]=max(a[j],a[j-w[i]]+v[i]);

多重背包

n种物品，每种有sum[i]件，价值为v[i]，代价w[i]，装到容量为m的包里使价值最大

拆成01背包

二进制拆分

xp[0]=1;for (int i=1;i<=14;i++) xp[i]=xp[i-1]*2;

这地方注意，xp[0]等于1。

for (int i=1;i<=n;i++){
for (int j=0;j<=14;j++){
if (num[i]<xp[j]) break;
w[++cnt]=w1[i]*xp[j];    v[cnt]=v1[i]*xp[j];
num[i]-=xp[j];
}
if (num[i]){
w[++cnt]=w1[i]*num[i];v[cnt]=v1[i]*num[i];
}
}

w,v是新的数组，num[]是每个物品的件数，价值和代价要一起拆。

混合背包

就是把三种背包合起来，读入的时候判断一下件数。（完全背包最多是m/w[i]）

然后拆。。。01背包做。

二维费用

数组加一维，循环加一重

像这样（我懒）（下边是个01背包，别的拆一拆。。。）

for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=zl;j>=w[i];j--)
for(int k=tj;k>=v[i];k--)
a[j][k]=max(a[j][k],a[j-w[i]][k-v[i]]+V[i]);

分组背包

for 所有的组k
for v=V..0
for 所有的i属于组k
f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i])

特别注意一下2、3重循环的顺序。这样才能保证每组内的物品只装一次。