解析几何：第六章 二次曲面（1）球面 椭球面 双曲面

§1.球面
1.球面方程，球心与半径

图形	方程	球心和半径
	1° 标准方程： x²+y²+z²=R² 2° 参数方程 （φ为经度，θ为纬度） 3° 球面坐标方程 r=R	球心：G(0,0,0) 半径：R
	1° (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² 2° 参数方程： （φ为经度，θ为纬度）	球心：G(a,b,c) 半径：R
	x²+y²+z²+2px+2qy+2rz+d=0   p²+q²+r²>d	球心：G(-p,-q,-r) 半径：

2.球面的切平面与法线
若以平面P通过球面上一点M，且垂直与半径GM，则称平面P为球面在点M的切平面。直线MG称为球面在点M的法线。
设球面方程为x²+y²+z²+2px+2qy+2rz+d=0
则球面在点的切平面方程为x0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0
球面在点的法线方程为


3.两个球面的交角，两个球面正交的条件
（1）两个球面的交角是指它们在交点处的两个切平面的夹角。
设两个球面S1:x²+y²+z²+2p1x+2q1y+2r1z+d1=0
          S2:x²+y²+z²+2p2x+2q2y+2r2z+d2=0
记它们的交角为θ，则有 


上式中不包含交点的坐标，所以两个球面在交线上各点的交角都相等。       
（2）由交角余弦表达式，可得到两个球面正交的条件为
2p1p2+2q1q2+2r1r2-d1-d2=0

§2 椭球面
1. 椭球面方程
（1）标准方程：


（a,b,c>0)
     参数方程：


（角φ，θ如图所示）



（2）特殊情况
当a=b时为旋转椭球面



它是OXZ平面上曲线(椭圆)： 绕Z轴旋转面得到的
注：b=c或a=c的情况类似
当a=b=c时为球面：x²+y²+z²=a²
2. 基本元素
顶点：


主轴：


依照a,b,c的大小，分别称为长轴、中轴、短轴。主轴之半径称为半轴，类似的有长半轴、中半轴、短半轴之分。
主平面 OXY平面：z=0 ; OYZ平面：x=0 ; OZX平面：y=0
中心 O(0,0,0)
直径：通过中心的弦
直径平面：通过中心的平面

§3 
双曲面
1.单叶双曲面


(1)标准方程


            (a,b,c>0)
(2) 基本元素
·顶点 

 
·主轴 

       （依照a,b的大小分别称为实长轴和实短轴）
·中心 O(0,0,0)
·主平面 OXY平面：z=0
; OYZ平面: x=0; OZX平面：y=0
(3) 直纹面母线方程


单叶双曲面是直纹面，且通过曲线面上每一点均有两条直母线。单叶双曲面上的两族直母线方程为：



与



（4) 平面与单叶双曲面的交线


·平行于Z轴的平面与单叶双曲面的交线都是双曲线，特殊情况为一对相交直线。
·垂直于Z轴的平面与单叶双曲面的交线都是椭圆，特别，OXY平面与曲面的交线：



称为单叶双曲面的腰圆.(如右图）
2. 双叶双曲面
（1）标准方程


 （a,b,c>0)


(2)基本元素
·顶点  C,C´(0,0,±c)
·主轴 

 （依照a,b大小分别称为实长轴和实短轴）
·中心 O(0,0,0)
·主平面 OXY平面：z=0
; OYZ平面：x=0; OZX平面：y=0
（3）当a=b时为旋转双曲面
           当a=b时，双叶双曲面是由OXZ平面上的双曲线

绕Z轴旋转得到的。
（4）平面与双叶双曲面的交线
·平行于Z轴的平面与双叶双曲面的交线均为双曲线
·垂直于Z轴的平面z=k(|k|≥c)与双叶双曲面的交线都是椭圆。特殊情况(|k|=c)为一点。

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