线性代数复习四——矩阵的维数和秩

说明：以后前一部分主要讲各种定义以及定理，用题目对定理来进行说明则放到后一板块

定义：

中的一个子空间是

中的集合H，具有以下三个性质：

a. 零向量属于H

b. 对H 中的任何向量u和v，u+v属于H

c. 对H中任意向量u和数c，c u属于H

即子空间对加法和标量乘法是封闭的

仅含零向量的子空间称为零子空间


中子空间H 的一组基是H 中一个线性无关组，它生成H

矩阵A的列空间的A的各列的线性组合的集合，记作 Col A

矩阵A的零空间是齐次方程

的所有解的集合，记作 Nul A

当线性方程组写成

的形式，Col A就是所有事方程有解的向量b的集合

矩阵A的主元列构成Col A的基

方程

的解的参数形式实际上就是确定Nul A的基

非零子空间H 的维数，用dim H 表示，是H 的任意一个基的向量个数，零子空间

的维数定义为零

矩阵A的秩（rank A）是A的列空间的维数，因为A的主元列形成Col A的一个基，A的秩正好是A的主元列的个数

秩定理：如果一个矩阵A有n列，则 rank A+ dim Nul A = n

最后接着上次最后给出的定理继续给出一些等价命题

设A为

矩阵，则下列命题是等价的：

m. A的列向量构成

的一个基

n. Col A=


o. dim Col A=n

p. rank A=n

q. Nul A={0}

r. dim Nul A=0

求

的零空间的基

首先把方程

的解写成参数向量的形式





通解为

为自由变量




，

生成Nul A

注：设

,虽然H 中的点也在

中，但它构成的是一个平面，映射

是H 和

之间保持线性组合关系的一一对应映射，我们称这种映射是同构的且H 与

同构，即若矩阵A是3x5的，有三个主元列，则Nul A


这一讲就到这里，我们下次继续~