拓展欧几里得算法

最近学习了拓展欧几里得算法，写下来，加深理解，备忘；

在讲拓展欧几里得算法前，先要了解一下裴蜀定理（贝祖定理）；

这个定理讲的是

1、若a,b为整数，gcd(a,b)=d；那么对于任意x，y，ax+by一定是d的倍数，即（ax+by）%d=0；

2、一定存在x，y，使得ax+by=d；

拓展欧几里得算法正是求解其中x，y的一种算法；

拓展欧几里得算法：

目的：给定两个不同时为零的整数a，b，计算gcd（a，b），以及整数x和y，使得ax+by=gcd（a，b）；

typedef long long int64;

int64 gcd_ex(int64 a, int64 b,int64& x, int64& y)

其中返回的是gcd（a，b）；

程序代码：

typedef long long int64;
int64 gcd_ex(int64 a, int64 b,int64& x, int64& y)
{
    if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; }
    int64 d = gcd_ex(b, a % b, y, x););//前半部分和欧几里得算法是一样的；
    y = y - a / b * x;//这边赋值和上面交换x，y的原因，百度百科讲的挺好的
    return d;
}

原因如下：

a>b>0 时

设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里得公式有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+
bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;