求解逆序对数的几种方法

求解逆序对数的几种方法：

设A为一个包含n个数字的有序集合(n>1)，其中所有的数字均不相同。

如果存在两个正整数i，j，使得1≤i<j≤n，且A[i]>A[j]，则(A[i],A[j])这个有序对称为A的一个逆序对。例如，数组(3，1，4，5，2)的逆序对有(3,1),(3,2),(4,2),(5,2)，共4个。

1. 两重循环来求解，时间复杂度为O(n2)，大致代码如下：

int GetReverse(int* a, int n) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < n-1; ++i) {
for (int j = i+1; j < n; ++j) {
if (a[i] > a[j]) ++sum;
}
}
return sum;
}

2. 树状数组求解，时间复杂度O(nlogn)

大致思想：

假设我们有个标记数组flag，长度为n；

先在n个数中找到最大的元素e1，其下表为p1，将flag[p1]置为1，统计p1之前的1的个数，即为与e1构成的逆序对数；

找到第二大元素e2，其下标为p2，将flag[p2]置为1，统计p2之前的1的个数，即为与e2构成的逆序对数；

以此类推，全部找完之后，统计的总个数即为序列中逆序对的总数。

拿开头的例子来说：

3 1 4 5 2，初始状态flag数组均为0（约定下标从1开始）；

取最大数5，flag数组变为 0 0 0 1 0，统计下标4之前的1的个数为0，总逆序对数为0；

取第二大数4，flag数组变为 0 0 1 1 0，统计下标3之前的1的个数为0，总逆序对数为0；

取第三大数3， flag数组变为 1 0 1 1 0，统计下标1之前的1的个数为0，总逆序对数为0；

取2，flag数组变为 1 0 1 1 1，统计下标5之前的1的个数为3，总逆序对数为3；

取1，flag数组变为 1 1 1 1 1，统计下标2之前的1的个数为1，总逆序对数为4；

结束。

为了降低找第k大数的时间复杂度，我们先用快排对n个数进行降序排列，用树状数组进行求和统计。

为了记录第k大数的位置，我们用结构体来储存数据值和下标。

示例代码如下：

// 数据输入
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &num[i].val);
num[i].id = i;
}
// 降序排列
sort(num+1, num+1+n, cmp);
// 找到第k大数，统计它的下标之前总共1的个数，加到ans当中，最终输出ans即为结果
// 标记第k大数的位置，并向上更新树状数组，两个操作顺序不能颠倒
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
ans += GetSum(num[i].id);
Update(num[i].id);
}

3归并排序求解：

未完待续……