BZOJ 4031: [HEOI2015]小Z的房间
2016-03-03 15:02
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BZOJ 4031: [HEOI2015]小Z的房间
标签(空格分隔): OI BZOJ MATRIX-TREE定理 高斯消元Time Limit: 10 Sec
Memory Limit: 256 MB
Description
你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间。事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候,相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙,使得所有房间能够互相到达。在此过程中,你不能把房子给打穿,或者打通柱子(以及柱子旁边的墙)。同时,你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓,所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在,你希望统计一共有多少种可行的方案。
Input
第一行两个数分别表示n和m。
接下来n行,每行m个字符,每个字符都会是’.’或者’’,其中’.’代表房间,’’代表柱子。
Output
一行一个整数,表示合法的方案数 Mod 10^9
Sample Input
3 3
...
...
.*.
Sample Output
15
HINT
对于前100%的数据,n,m<=9
Solution
MATRIX-TREE定理1、G的度数矩阵\({D_G}\)是一个n*n的矩阵,并且满足:当i≠j时,\({D_{i,j}}\)=0;当i=j时,\({D_{i,j}}\)等于\({V_{i}}\)的度数。
2、G的邻接矩阵\({A_{G}}\)也是一个n*n的矩阵,并且满足:如果\({V_{i}}\)、\({V_{j}}\)之间有边直接相连,则\({A_{i,j}}\)=1,否则为0。
定义G的Kirchhoff矩阵\(C_G\)为\(C_G=D_G-A_G\)。
Matrix-Tree定理:G的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵\(C_G\)任何一个n-1阶主子式(去掉第行第i列的新矩阵)的行列式的绝对值。
高斯消元解行列式时会出现除法运算,利用欧几里德算法。
具体来说,高斯消元时进行初等变换,正常高斯消元把某行乘以某个数字加到另一行上,使得目标行某个位置为0,算出对应位置比例一次变换。在整数意义下,设对应位置数值为a,b使得b为0,则使b所在行+a所在行*b/a,(a,b)->(a,b mod a)。交换2行,做类似相同操作,直到a或b为0停止。
Code
#include<iostream> #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<algorithm> #include<queue> #include<set> #include<map> #include<bitset> #include<vector> using namespace std; #define PA pair<int,int> const int N=0,M=0; int read() {int s=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0';ch=getchar();} return s*f; } //smile please int n,m,S,mo=1000000000; int s[11][11]; char z[11][11]; int a[82][82]; int gs() { S--; for(int i=1;i<=S;i++) for(int j=1;j<=S;j++) a[i][j]=(a[i][j]+mo)%mo; long long ans=1; for(int j=1;j<=S;j++) {for(int i=j+1;i<=S;i++) while(a[i][j]) {long long t=a[j][j]/a[i][j]; for(int k=j;k<=S;k++) a[j][k]=(a[j][k]-t*a[i][k]%mo+mo)%mo, swap(a[i][k],a[j][k]); ans*=-1; } ans=ans*a[j][j]%mo; } return (ans+mo)%mo; } int main() { //freopen(".in","r",stdin); //freopen(".out","w",stdout); n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",&z[i][1]); for(int i=0;i<=n+1;i++) for(int j=0;j<=m+1;j++) if(i==0||j==0||i==n+1||j==m+1) z[i][j]='*'; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) if(z[i][j]=='.') {s[i][j]=++S; if(z[i-1][j]=='.')a[s[i-1][j]][s[i][j]]=1; if(z[i-1][j]=='.')a[s[i][j]][s[i-1][j]]=1; if(z[i][j-1]=='.')a[s[i][j-1]][s[i][j]]=1; if(z[i][j-1]=='.')a[s[i][j]][s[i][j-1]]=1; } for(int i=1;i<=S;i++) for(int j=1;j<=S;j++) if(a[i][j]&&i!=j) a[i][i]++; printf("%d\n",gs()); //fclose(stdin); //fclose(stdout); return 0; }
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