最大公约数与欧几里德算法

记a、b的最大公约数为gcd(a,b)。

这里对于最大公约数的讨论仅限于非负整数，因为显然有gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)。

计算最大公约数的Euclid算法基于下面定理：

【GCD递归定理】对于任意非负整数a和任意正整数b，gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

Euclid算法最简单的递归版本（C语言版）如下：

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int Euclid(int a,int b)
{
if(b)
return Euclid(b,b%a);
else return a;
}
int main()
{
int n=54,m=63;
printf("%d",Euclid(n,m));//输出9
return 0;
}

迭代版本（C语言版）如下：

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int Euclid(int a,int b)
{
while(a=a%b)
a^=b^=a^=b;
return b;
}
int main()
{
int n=54,m=63;
printf("%d",Euclid(n,m));//输出9
return 0;
}

Euclid算法运行时间分析

【引理】如果a>b≥1且Euclid(a,b)执行了k≥1次递归调用，则a≥Fk+2,b≥Fk+1。（其中Fk为Fabonacci的第k项）

【Lamé定理】对于任意k≥1，若a>b≥1且b<Fk+1则Euclid(a,b)的递归调用次数少于k次。

O(log b)是该算法一个粗略的界，事实上当b确定后，Euclid(a,b)的平均迭代次数近似为（12ln2/π2）×lnb。

求最大公约数的Euclid算法需要用到大量的取模运算，这在大多数计算机上是一项复杂的工作，相比之下减法运算、测试数的奇偶性、折半运算的执行速度都要更快些。

二进制最大公约数算法避免了Euclid算法的取余数过程。

二进制最大公约数基于下述事实：

若a、b都是偶数，则gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)

若a是奇数、b是偶数，则gcd(a,b)=gcd(a/2,b/2)

若a、b都是奇数，则gcd(a,b)=gcd((a-b)/2,b)

因此可写出二进制最大公约数算法如下（C语言版）：

int gcd(int a,int b){
int c=1;
while(a-b){
if(a&1){
if(b&1){
if(a>b)a=(a-b)>>1;else b=(b-a)>>1;
}
else b>>=1;
}
else{
if(b&1)a>>=1;else c<<=1,a>>=1,b>>=1;
}
}
return c*a;
}

或者

int gcd(int u,int v){
int k=1,t;
while(~u&1 && ~v&1)
k<<=1,u>>=1,v>>=1;
t=(u&1)?-v:u>>1;
do{
while(~t&1)t>>=1;
if(t>0)
u=t;
else
v=-t;
}while(t=u-v);
return u*k;
}