高等数学：第十二章 微分方程（1）微分方程的概念，可分离变量的微分方程，齐次方程

§12.1  微分方程的基本概念

凡表示未知函数、未知函数导数与自变量之间关系的方程，称之为微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

一般地，

阶微分方程的形式是


                                Œ

其中

是

个变量的函数，在方程Œ式中，

是必须出现的，而

等变量可以出现，也可以不出现。

在以后的讨论中，我们主要讨论Œ式的特殊形式


                               

设函数

在区间

上有

阶导数，如果在区间

上



那未函数

就叫做微分方程Œ在区间

上的解。

如果微分方程的解含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同(这里的任意常数应相互独立，即：它们不能合并而使得任意常数的个数减少)，这样的解称之为微分方程的通解。

设微分方程为

，其通解为

，其中：

为任意常数。为了确定任意常数的具体取值，通常给出条件

当  

 时，


或  

                                           Ž

这里

都是给定的值。

设二阶微分方程为

，其通解为

，其中：

为独立的任意常数。为了确定

的值，通常给出条件

当 

 时， 

 ， 

，
即


                                             

这里

 都是给定的值。

上面所给出的这种条件Ž、叫做初始条件；

确定了通解中的任意常数之后所得到的解称作微分方程的特解。

求微分方程

满足初始条件

的特解，又称之为一阶微分方程的初值问题，记作


                                              

一般地讲，微分方程特解的图形是一条曲线，这一曲线称之为积分曲线。

初值问题的几何意义为：求微分方程通过点

的那条积分曲线。

【例1】一曲线过点

，且在该曲线上任一点

处的切线斜率为

，求该曲线的方程。

解：设所求曲线的方程为

，则它满足



把方程两端积分，得  

    (

是任意常数 )

由初始条件，有      


由此定出            


故所求曲线的方程为 


【例2】验证：函数


(

是任意常数)

是微分方程  

  的通解。

解：  



，





显然 


故  

 是微分方程的解。因

是相互独立的两个任意常数，而微分方程的阶数是二阶的，故它微分方程的通解。

§12.2  可分离变量的微分方程

【定义】如果一阶微分方程能化成


                                        Œ

的形式，那么原方程称之为可分离变量的微分方程。

为讨论这类微分方程的求解，我们先看两个引例

对于一阶微分方程



只需将上式两端积分就得到了这个方程的通解



但是，并非所有的一阶微分方程都能这样求解。

例如，对于一阶微分方程


 

就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数，积分

求不出来。为了解决这个困难，在方程的两端同乘以

，使方程变为    

 

这样，变量

与

被分离在等式的两端，然后两端积分得



如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?

直接验证：对方程两边关于

求导，有



可见，它确实是原方程的通解。

下面讨论可分离变量微分方程


                                      Œ

的求解。

假定函数

和

是连续的。

设

是方程Œ的解，将它代入方程得到恒等式



将上式两端积分有



引入变量替换

，得



设

及

依次为

及

的原函数，于是有


                                          

因此，方程Œ的解满足关系式。

反之，如果

是式所确定的隐函数，那未在

的条件下，据隐函数的直接求导法有



因此，函数

满足方程Œ。

综合上述讨论有

如果可分离变量方程Œ中的

和

连续，且

，那么Œ式两端积分后得到的关系式，它用隐式的形式给出了方程Œ的解。

由于式含有任意常数，故式叫做微分方程的隐式通解( 当

时，式所确定的隐函数也可认为是方程Œ的解)。

【例1】设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(

)速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。



解：设伞下落速度为

，在下落时，同时受到重力

与阻力

的作用，重力大小为

，方向与

一致;阻力大小为

(

为比例系数 )，方向与

相反，从而伞所受外力为



据牛顿第二运动定律 

，得到函数

应满足微分方程



方程是可分离变量的，分离变量得



两端积分，有





其中   


由初始条件  

，有 


于是所求的函数为



【例2】有高为100厘米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1平方厘米，开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里的水面的高度

(水面与孔口中心间的距离 )随时间

变化的规律。

解：由水力学知道，水从孔口流出的流量

( 即通过孔口横截面的水的体积

对时间

的变化率 )可用下列公式计算



这里，

为流量系数，

为孔口横截面面积，

为重力加速度。

现在，孔口横截面面积为




另一方面，设在微小时间间隔

内，水面高度由

降至

，可得到     


其中

是时刻

时的水面半径，右端置负号是由于

，而

。



如图，




得到微分方程  


及初始条件    


方程是可分离变量的方程





将初始条件代入，定出常数

。





把

值代入并化简，得



【注记】

本例通过对微小量的分析，得到了微分方程。这种微小量分析法，是建立微分方程的一种常用方法。

§12.3  齐次方程

如果一阶微分方程



中的

可写成

的函数，即

，称此方程为齐次方程。

例如 

 是齐次方程，因为



在齐次方程


 

中，引入变量替换



有  

，

将它们代入齐次方程，得



分离变量，得



两边积分，得



求出积分后，再用

代替

，便得所给齐次方程的隐式通解。

【例1】解方程



解： 原方程可写成





因此是齐次方程，令 

，则



于是原方程变为



分离变量， 得



两边积分，得





以

代替

，
得到原方程的通解



注记:

齐次方程的求解实际上是通过变量替换，将方程化为可分离变量的方程。

变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用。但困难之处是如何选择适宜的变量替换。一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造。对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换。

【例2】求下列微分方程的通解

1、


2、


解1、令

,则  



 

原方程化为 




即  


解2、


令 

，原方程可化为





(其中 

 )

【例3】设河边点

的正对岸为点

，河宽

，两岸为平行直线，水流速度为

。有鸭子从点

游向点

，设鸭子(在静水中)的游速为

，且鸭子游动方向始终朝着点

，求鸭子游过的迹线。

解：设水流速度为

，鸭子游速为

，则鸭子实际运动速度为

。

取

为坐标原点，河岸朝顺水方向为

轴，

轴指向对岸，设在时刻

鸭子位于点

。



设鸭子运动速度为


，

故有  


而 

 ，


从而 


由此得到微分方程



即  


令 

，则 

，

，代入上面的方程有



分离变量得  


积分得  



 ， 



 


 ， 


以条件

时

代入上式，得 

，故鸭子游过的迹线为



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