算法导论学习笔记（一）排序算法之分治排序

分治顾名思义，就是分而治之。

即将大问题分化成小问题，然后其处理复杂度就会下降很多。“大事化小，小事化了”说的就是这个意思。

分治排序的核心思想是将两串已排序的数列进行合并。而为了使得这两串数列均为已排序数列，则将其再分为更小的两串已排序数列，再进行合并······

合并部分

再进行合并时，由于这两串数列均以排序，所以可以看作两幅叠好的扑克牌，拿最上面的牌进行比较，将小的牌依次拿出，直至所有的牌合并完毕。

算导的合并伪代码

MERGE(A,p,q,r)//其中A为被排序数组，p为左边界，r为右边界，q属于[p,r)
1   n1 = q - p + 1
2   n2 = r - q
3   let L[1..n1 + 1] and R[1..n2 + 1] be new arrays
4   for i = 1 to n1
5       L[i] = A[p + i -1]
6   for j = 1 to n2
7       R[j] = A[q + j]
8   L[n1 + 1] = ∞
9   R[n2 + 1] = ∞
10  i = 1
11  j = 1
12  for k = p to r
13      if L[i] <= R[j]
14          A[k] = L[i]
15          i = i + 1
16      else A[k] = R[j]
17           j = j + 1

第3~7行中以q为边界，将大数组分为两个小数组；

第7、8行为设置哨兵，表明数组结束，能简化部分排序代码；

第12~17行中将两个数组的最前端依次比较，将较小的放入原数组中。

时间复杂度

第5、7行将整个数列分为两部分，则其共花费O(n);

第13~17行共循环n次，则其花费O(n);

所以合并数列部分花费为O(n);

递归部分

算导的伪代码

MERGE-SORT(A,p,r)
1   if p < r
2       q = (p+r)/2
3       MERGE-SORT(A,p,q)
4       MERGE-SORT(A,q+1,r)
5       MERGE(A,p,q,r)

时间复杂度

依据P21，其总代价为cn * lg(n) + cn;

所以时间复杂度为O(n*lg(n))。

代码片段如下

void merge(int *arraySort,int left,int center,int right)
{
int leftArray[center-left+2];
int rightArray[right-center+1];
int i,j;
for(i = 0;i<=center-left;i++)
leftArray[i] = arraySort[i+left];
for(j = 0;j<right-center;j++)
rightArray[j] = arraySort[j+center+1];
leftArray[center-left+1] = 0x3f3f3f3f;
rightArray[right-center] = 0x3f3f3f3f;
i = 0;
j = 0;
for(int q = left;q<=right;q++){
if(leftArray[i]<rightArray[j]){
arraySort[q] = leftArray[i];
i++;
}
else {
arraySort[q] = rightArray[j];
j++;
}
}
}
void mergeSort(int *arraySort,int left,int right)
{
if(left<right){
int center = (left+right)/2;
mergeSort(arraySort,left,center);
mergeSort(arraySort,center+1,right);
merge(arraySort,left,center,right);
}
}