《任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和》

具体证明过程如下：

　　设自然数N=a
a[n-1]…a[0]，其中a[0]，a[1]、…、a
分别是个位、十位、…上的数字

　　再设M=a[0]+a[1]+…+a

　　求证：N≡M(mod 9).

　证明：
　　  ∵ N=a
a[n-1]…a[0]=a
*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
　　 又∵ 1≡1(mod 9),
　　 10≡1(mod 9),
　　   10^2≡1(mod 9),
　　      …
　　     10^n≡1(mod 9).
　　 上面这些同余式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a
，再相加得：
　　　　 a[0]+a[1]*10+…+a
*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a
)(mod 9)，
　　　　　　　　　　　　　　　　  即 N≡M(mod 9)，得证。

　　有了这个性质就容易解决本题了

　　在计算过程中，可以不断mod 9，因为我们知道有这样两个性质：

　　　　(A+B)mod C = （(A mod C) + (B mod C)）mod C
　　　　(AB)mod C = ((A mod C)×(B mod C)) mod C

　还要注意，如果余数为0，则输出9