【Codechef】B-Tree

题目描述

给出一棵nn个点的树，边权都为11，以及mm个询问，每一个询问形式如下：

给出kk个点的集合S={a1,a2,⋯,ak}S=\{a_1, a_2, \cdots, a_k\}，以及每一个点的控制范围rair_{a_i}。

一个点pp称为被控制的，当且仅当∃x∈S,dis(x,p)≤rx\exists x\in S, dis(x, p)\leq r_x

问有多少个点被控制。

n,Q≤5×104,∑k≤5×105n, Q\leq 5\times 10^4, \sum k \leq 5\times 10^5

分析

part 1 简化的问题

不妨先看当k=1k=1时，问题变成怎么样的了。

给出一棵树，每次询问距离点xx的距离小于rr的点的个数。

考虑点剖，每一个重心上存点剖子树中所有点，按照离重心距离为关键字建桶。

那么只需要在点剖树上，从xx往上跳，沿路统计答案就可以了。

但是注意可能会有重复计算。但是考虑点剖树上某个点只有lognlog n个祖先，将它们记录下来，逐个减去重复计算的就可以了。

时间复杂度O(log2n)O(log^2 n)

但是假如我们加入无用白点，那么这里可以O(1)O(1)地解决重复问题（只考虑另外两个儿子就可以了）

时间复杂度O(logn)O(log n )

边剖也是类似的，不过相对来说更加好写一点。

part 2 原问题的分解

扩展到多点 虚树

当k>1k>1时，我们可以引入虚树和控制范围的概念，从而将原问题转化。

虚树的构建可以利用欧拉序，首先先将每两个相邻的关键点之间最近公共祖先都加入进去。然后维护一个栈，每加入一个点，就不断退栈，直到栈顶是它的某个祖先，然后将栈顶与这个点连边，最后将这个新点压入栈。

首先先构建出这kk个点的虚树，那么虚树中的每个点xx，它的控制范围lx=max0≤y<nly−disx,yl_x=max_{0\leq y，每个点的归属belongxbelong_x自然就是任意一个取得最大lxl_x的yy。

为了统一，假如某个点不被控制，不妨将lxl_x赋为00，belongxbelong_x赋为nn。

用spfa可以快速地计算出每个点的控制范围。

然后问题的答案就等于虚树上的每条边的答案之和。

单条边的处理方式

一条边的答案正着算似乎不好处理，用所有的虚树上点的控制范围点数和，减去重复的部分，也可以得到原来的答案。

性质一：设(x,y)(x, y)是虚树上的一条边，那么当且仅当belongx≠belongybelong_x\neq belong_y时，才会在这条边上出现重复。

证明：显然。

性质二：对于满足性质一的边，存在唯一的z∈path[x,y]z\in path[x, y]，使得path[x,z]path[x, z]上的点都属xx管劾，path(z,y]path(z, y]上的点都属yy管劾。

证明：

不妨令depx<depydep_x，那么

lx−dis(x,z)≤ly−dis(z,y)l_x-dis(x, z)\leq l_y-dis( z, y )

lx−(depz−depx)≤ly−(depy−depz)l_x-( dep_z-dep_x )\leq l_y-( dep_y-dep_z )

depx+depy+lx−ly≤2depzdep_x+dep_y+l_x-l_y\leq 2dep_z

⌈depx+depy+lx−ly2⌉≤depz\lceil \frac{ dep_x+dep_y+l_x-l_y }{2} \rceil \leq dep_z

由上面这条式子，就可以知道zz唯一确定了一条边之间两个点的管劾范围。

part 3 更深入的分析

通过这样的划分以后，我们计算答案的思路就变成下面两步

假如某个点在新图中存在势力范围，那么统计它势力范围内的点数，将其求和。

对于每条两个端点的统治势力不同的点，计算它们重叠部分并减去之。

对于第一个问题，套用“简化的问题”的思路，就可以简单地解决了。

对于第二个问题，实际上就是要统计距离不在点zz子树内，离zz距离小于等于lzl_z的点数，以及在zz的子树中，离点zz的距离小于等于lu−dis(z,u)l_u-dis(z, u)的点数。

那么对于第二个问题比较好的解决思路就是dfs序，因为子树都是dfs序中连续的一段，而不在子树中必定是全段挖去中间的一小段。那么我们只需要按dfs序构建主席树，那么就可以快速进行统计了。

那么单次询问的时间复杂度就是的时间复杂度O(klogn)O(klogn)

于是最终总的时间复杂度是O(nlogn+Qklogn)O( nlogn + Qklogn )