高等数学：第七章 空间解析几何（1）空间解析几何与向量代数 向量的加减法、数乘、坐标

§7.1  空间直角坐标系

一、空间点的直角坐标

平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组

之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究。

为了沟通空间图形与数的研究， 我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现。

1、空间直角坐标系

过空间一定点

，作三条互相垂直的数轴，它们以

为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫

轴(横轴)、

轴(纵轴)、

轴(竖轴)，
且统称为坐标轴。

通常把

轴，

轴配置在水平面上，而

轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：



右手握住

轴，当右手的四个指头从

轴的正向以

角度转向

轴正向时，大拇指的指向就是

轴正向。

三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系， 点

叫做坐标原点。

注明：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把

轴与

轴间的夹角画成

左右。当然，它们的实际夹角还是

。

2、坐标面  卦限

三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。

由

轴与

轴所决定的坐标面称为

面，另外还有

面与

面。

三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限。



3、空间点的直角坐标系

取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系。

设

为空间的一已知点，过

点分别作垂直于

轴、

轴、

轴的三个平面，它们与

轴、

轴、

轴的交点依次为

，这三点在

轴、

轴、

轴的坐标依次为

，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组

，这组数叫

点的坐标。

依次称

，

，

为点

的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为

。



反过来，若已知一有序数组

，我们可以在

轴上取坐标为

的点

，在

轴上取坐标为

的点

，在

轴取坐标为

的点

，然后过

、

、

分别作

轴、

轴、

轴的垂直平面，这三个平面的交点

就是以有序数组

为坐标的空间点。

这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点

和有序数组

之间的一一对应关系。

注明：

空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定， 因此， 常称我们生活的空间为三度空间或三维空间 ”。 事实上，我们的生活空间应该是四度空间，应加上时间变量

。即：

，它表示在时刻

所处的空间位置是

。

二、空间两点间的距离公式

设

、

为空间的两点，则两点间的距离为



证明：

过

、

各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以

为对角线的长方体，如图所示




是直角三角形， 故




是直角三角形， 故



从而  


而    






故    


特别地，点

与坐标原点

的距离为



§7.2  向量、向量的加减法与向量的数乘

一、向量的概念

既有大小，又有方向的量称之为向量。

数学上用一条有方向的线段(即有向线段)来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

以

为始点，

为终点的有向线段所表示的向量记为

。

有时也有粗体字母或一个上面加有箭头的字母表示向量，如向量

、

、

或 

、

、

 等等。

向量的大小称作向量的模。

向量

与

的模记作

与

。

模等于1的向量称作单位向量。

模等于0的向量称作零向量，并记作

，并规定：零向量的方向为任意的。

在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向一点

引向量，这个向量

称作点

对于原点 

 的向径，常用

表示。

实际问题中，有些向量与始点有关，而有些向量与始点无关，但一切向量的共性是：它们都有大小和方向。因此，在数学上我们只研究与始点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量。

当遇到与始点有关的向量时(例如：质点运动的速度)，可在一般原则下作特殊处理。

定义两向量

、

相等的意义如下：

若向量

与向量

的模相等，又互相平行，且指向一致，则称向量

与向量

相等，并记作

。

显然，若

，经过平行移动之后，

与

能完全重合在一起。

二、向量的加减法

据力学实验的结果，两个力的合力可根据平行四边形法则求出。

我们对向量规定加法运算如下：

设

、

，以

与

为边作一平行四边形

，取对角线向量

，记

，称

为

与

之和，并记作





这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则。

如果向量

与向量

在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：

若

与

的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和。



若

与

的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差，其方向与模值大的向量方向一致。



由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量的和向量：

 作

，以

的终点为起点作

，联接

得


。

该方法称作向量加法的三角形法则。



向量加法的三角形法则的实质是：

将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量。

据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：

1、交换律  


2、结合律  




与

的模相同而方向相反的向量叫

的负向量，记作

。我们规定两向量

与

的差为：

。

特别地，


由三角形法则可看出：要从

减去

，只要把与

长度相同而方向相反的向量

加到向量

上去。由平行四边形法则，可如下作出向量

。

 


三、向量与数量的乘法

设

是一个数量，向量

与

的乘积规定如下：

1、当

时，向量

的方向与

的方向相同，其模等于

的

倍，

即    

；

2、当

时，向量

是零向量，即 

；

3、当

时，向量

的方向与

的方向相反，其模等于

的

倍，

即    

。

特别地，取

，则向量

的模与

的模相等，而方向相反，由负向量的定义知： 

。

据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律：

1、结合律  


显然，向量

、

、

的方向是一致，

且 

 = 

 =

= 

·


2、分配律





一个常用的结论：

若

( 

为数量 )，则向量

与向量

平行，记作

；反之，若向量

与向量

平行，则

 ( 

是数量)。

简言之，

。

设

是非零向量，用

表示与

同方向的单位向量。

由于

与

同方向，从而

与

亦同方向，而且


。

即    

。

我们规定：若

， 

。于是  

。

这表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量。

请注意：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子

改写成形式  

。

十分显然，这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成。

§7.3  向量的坐标

一、向量在轴上的投影与投影定理

1、空间两向量的夹角

设有两向量

、

交于点

(若

、

不相交，可将其中一个向量平移使之相交)，将其中一向量绕

点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度

(限定

)称为

、

间的夹角，记作

。



若

、

平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为

；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为

。

类似地，可规定向量与数轴间的夹角

将向量平行移动到与数轴相交，然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转， 使向量的正方向与数轴的正方向重合， 这样得到的旋转角度

称为向量与数轴的夹角。



2、空间点在轴上的投影

设已知点

及轴

，过点

作轴

的垂直平面

，则平面

与轴

的交点叫做点

在轴

上的投影。



3、向量在轴上的投影

设向量

的始点

与终点

在轴

的投影分别为

、

，
那么轴

上的有向线段

的值

叫做向量

在轴

上的投影，
记作

 ， 轴

称为投影轴。



这里，

的值

是这样的一个数值。

(1)、

即， 数

的绝对值等于向量

的模。

(2)、当

的方向与轴

的正向一致时，

；当

的方向与

轴的正向相反时，

。

4、投影定理

【定理】向量

在轴

上的投影等于向量的模

乘以轴

与向量

的夹角

的余弦。即





【证明】过向量

的始点

引轴

，且轴

与轴

平行且具有相同的正方向，那未轴

与向量

的夹角等于轴

与向量

的夹角，而且有





故  


由上式可知：

向量

在轴

上的投影是一个数值，而不是向量。

当非零向量

与投影轴

成锐角时，
向量

的投影为正；

当

与投影轴

成钝角时，向量

的投影为负；

当

与投影轴

成直角时，向量

的投影为零。

【定理】两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和，即



证明：如图所示， 设

为投影轴，作折线

，



使  

，

，

，


，

，

，

不论

在

轴上的位置如何，总有





即   

  

【推广】


二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标

向量的研究较复杂，为了沟通向量与数量，需要建立向量与有序数组之间的对应关系，借助向量在坐标轴上的投影可达到此目的。

1、向量在数轴上的投影向量及表示法

设

是一空间向量， 

为一条数轴。点

、

在轴

上的投影分别为

、

，而点

、

在数轴

上的坐标依次为

、

，则





记 

，则  

                               (1)

设

是与轴

的正方向一致的单位向量，那么


                                      (2)

(1)式是向量

在轴

上的投影的计算公式，而

称为向量

在轴

上的投影向量，(2)式是它的一种表示法。

2、向量在坐标轴上的分向量

设

是一空间向量，其始点为

，终点为

，过点

、

各作垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面围成一个以线段

为对角线的长方体。



从图中可以看出







而









向量

、

、

分别是向量

在

、

、

轴上的投影向量，
我们称它们分别是向量

在

、

、

轴上的分向量。

若以

、

、

分别表示沿

、

、

轴正向的单位向量，
并称它们为这一坐标系的基本向量。于是







因此   


或 


此二式称为向量

或

按基本向量的分解式。

3、向量的坐标

一方面，由向量

可以唯一地定出它在三条坐标轴上的投影

；
另一方面，由

又可以唯一地定出向量

。这样，向量

与有序数组

之间建立了一一对应的关系。

故可以把向量

在三条坐标轴上的投影

叫做向量的坐标，将表达式

称作向量

的坐标表示式。

注意：向量的坐标表示式是用花括号{  }表示的，不要与空间点的坐标表示式用圆括号(  )表示相混淆。

以

为始点及

为终点的向量的坐标式可表示成   


特别地， 空间点

对于原点的向径为



4、用坐标形式表示向量的运算性质

设 

，

，则


，


于是









最后，我们得到了向量加减与数乘运算的坐标表示式







【例1】定比分点公式

设

和

为两已知点，有向线段

上的点

将它分为两条有向线段

和

，使它们的值的比等于数

(

)，即



求分点

的坐标。



解：因为

与

在同一直线上，且同方向，故


 






 


，

，


解得



三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的。

设空间向量

与三条坐标轴的正向的夹角分别为

，规定：  


称

为向量

的方向角。



因为向量

的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此




                           (1)



公式(1)中出现的

称为向量

的方向余弦。

而  





是与向量

同方向的单位向量。

而 









                                  (2)

从而向量

的方向余弦为


                                (3)

并且    


(2)、(3)式分别给出了用坐标式给出的向量

的模与方向的计算公式。

【例2】已知两点

和

，求与

同方向的单位向量

。

解：







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