高等数学：第六章 定积分的应用（1）定积分的应用 平面图形的面积 立体体积

§6.1  定积分的元素法

一 再论曲边梯形面积计算

设

在区间

上连续，且

，求以曲线

为曲边，底为

的曲边梯形的面积

。



1、化整为零

用任意一组分点  


将区间分成 

个小区间

，其长度为



并记 


相应地，曲边梯形被划分成

个窄曲边梯形，第

个窄曲边梯形的面积记为

。

于是  


2、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值

 


3、积零为整，给出“整”的近似值

 


4、取极限，使近似值向精确值转化

 


上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：

(一)、若将

分成部分区间

，则

相应地分成部分量

，而



这表明：所求量

对于区间

具有可加性。

(二)、用

近似

，误差应是

的高阶无穷小。

只有这样，和式

的极限方才是精确值

。

故，确定 

是关键。



通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。

二、元素法

1、能用定积分计算的量

，应满足下列三个条件

(1)、

与变量

的变化区间

有关；

(2)、

对于区间

具有可加性；

(3)、

部分量

可近似地表示成

。

2、写出计算

的定积分表达式步骤

(1)、根据问题，选取一个变量

为积分变量，并确定它的变化区间

；

(2)、设想将区间

分成若干小区间，取其中的任一小区间

，

求出它所对应的部分量

的近似值


   ( 

为

上一连续函数)

则称

为量

的元素，且记作

。

(3)、以

的元素

作被积表达式，以

为积分区间，得



这个方法叫做元素法，其实质是找出

的元素

的微分表达式



因此，也称此法为微元法。

【例1】已知闸门上水的压强

(单位面积上压力的大小)是水深

的函数，且

。若闸门高3米，宽2米，求水面与闸门顶相齐时闸门所承受的水压力

。

解：选择

为积分变量，则 




位于水深

与 

之间的闸门所承受的水压力近似地为



故  


( 注：这里，

是水压力元素 )

§6.2  平面图形的面积

一、直角坐标的情形

由曲线

 及直线 

与 

 ( 

 ) 与 

轴所围成的曲边梯形面积

。




  其中：

为面积元素。

由曲线 

 与 

 及直线 

，

( 

 )且

所围成的图形面积

。



 


其中：

 为面积元素。

【例1】计算抛物线

与直线

所围成的图形面积。

解：1、先画所围的图形简图

解方程 

, 得交点：

 和 

。



2、选择积分变量并定区间

选取

为积分变量，则


3、给出面积元素

在

上，  


在

上，  


4、列定积分表达式



另解：若选取

为积分变量，则 






显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。

【例2】求椭圆

所围成的面积 

。

解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。



取

为积分变量，则 

， 




故  

                        ( * )

作变量替换  

  


则 

，  



                          ( * * )







于是，我们可给出曲边梯形的曲边由参数方程给出时，其面积计算公式

设曲边梯形的曲边由参数方程



给出，曲边梯形的面积计算公式为



其中：

及

分别曲线的起点与终点的所对应的参数值。



二 极坐标情形

设平面图形是由曲线 

及射线

，

所围成的曲边扇形。



取极角

为积分变量，则 

,在平面图形中任意截取一典型的面积元素

，它是极角变化区间为

的窄曲边扇形。


的面积可近似地用半径为

，
中心角为

的窄圆边扇形的面积来代替，即



从而得到了曲边梯形的面积元素 


从而  


【例3】计算心脏线

所围成的图形面积。

解： 由于心脏线关于极轴对称，





§6.3  体积

一、旋转体的体积

旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。

计算由曲线

直线

，

及

轴所围成的曲边梯形，绕

轴旋转一周而生成的立体的体积。



取

为积分变量，则

，对于区间

上的任一区间

，它所对应的窄曲边梯形绕

轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以

为底半径，

为高的圆柱体体积。即：体积元素为



所求的旋转体的体积为



【例1】求由曲线

及直线

，

和

轴所围成的三角形绕

轴旋转而生成的立体的体积。

解：取

为积分变量，则






二、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )

由旋转体体积的计算过程可以发现：

如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。



取定轴为

轴， 且设该立体在过点

，

且垂直于

轴的两个平面之内，
以

表示过点

且垂直于

轴的截面面积。

取

为积分变量，它的变化区间为

。立体中相应于

上任一小区间

的一薄片的体积近似于底面积为

，高为

的扁圆柱体的体积。

即：体积元素为  


于是，该立体的体积为  


【例2】计算椭圆

 所围成的图形绕

轴旋转而成的立体体积。

解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆

及

轴所围成的图形绕

轴旋转所生成的立体。



在

处

，用垂直于

轴的平面去截立体所得截面积为





【例3】计算摆线的一拱



以及

所围成的平面图形绕

轴旋转而生成的立体的体积。



解：








请自行计算定积分 


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