高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（3）曲线的凹凸 拐点 曲率

§3.7  曲线的凹凸与拐点

一、引例

研究了函数的单调性、极性，对于函数的性态有了更进一步的了解。为了描绘出函数的图象的主要特征，仅凭此两点还是不够的。

【引例】作函数

与

在 

 上的图象。



曲线的凹凸的特性可由下面的几何图形所反映出的事实看出：



二、凹凸的定义

设函数

在

上连续，
如果对

上任意

、

两点，
恒有



则称曲线

在

上的是凹的(或凹弧)，也称函数

是

上的凹函数。

如果恒有



则称曲线

在

上是凸的(或凸弧)，也称函数

是

上的凸函数。

函数的一阶导数的符号可判断函数的单调性，二阶导数的符号又能确定函数的何种属性呢?一个最简单的例子，给我们以启迪。

抛物线

的二阶导数为

，

若

， 即

，抛物线是开口向上的凹弧；

若

， 即

，抛物线是开口向下的凸弧。

三、凹凸性的判别法

【定理】

设函数

在

上连续，
在

内具有一阶和二阶导数，那未

(1)、若在

内， 

，则

在

上的图形是凹的；

(2)、若在

内， 

，则

在

上的图形是凸的。

证明(仅证(2))：


， 且 

，  记  

，


，

由拉氏中值公式有





两式相减得：



对

在区间

上再一次地使用拉氏中值公式有：



其中： 

。

依定理情形(2)的假设条件有

， 从而


，即


，亦即



所以， 函数

在

上是凸的。

对此定理，我们给出两点注释。

1、定理的记忆方法



2、函数在任意区间上凹凸性的定义与判定与之相类似。

四、曲线的拐点

业已知道，函数一阶导数

为零或不存在的点

，是函数

单调区间的分界点，且函数在它左右两侧的单调性往往是相反的。

能否猜想：函数二阶导数

为零或不存在的点

，它所对应的曲线上的点

是曲线弧

的凹弧与凸弧的分界点。

【拐点定义】连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。

依拐点的定义， 不难给出确定曲线拐点的方法：

设函数

在区间

上连续

1、求出

在

上为零或不存在的点；

2、这些点将区间

划分成若干个部分区间，然后考察

在每个部分区间上的符号，确定曲线

的凹凸性；

3、若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相反，则此分界点是拐点；若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相同，则此分界点不是拐点。

【例1】求曲线

的凹凸区间与拐点。

解：函数的定义区间为 

，

，


，令 

 得：

。

将定义区间分为三个区间




当

时，

，点

是曲线的一个拐点；

当

时，

，点

也是曲线的一个拐点。

【例2】讨论曲线

的凹凸性与拐点。





§3.9  曲率

一、弧微分

1、有向曲线与有向线段的概念

给定曲线

，取曲线上一固定点

作为度量弧长的基点。规定：曲线的正向为依

增大的方向。

对曲线上任一点

，弧段

是有向弧段,它的值

规定如下：

(1)、

的绝对值

等于该弧段的长度。

(2)、当有向弧段

的方向与曲线正向一致时，

,相反时 

。



有向弧段

以后简称弧

。显然,弧

是

的函数,即

，而且是

的单调增加函数。

【例1】求曲线

的弧

。

解：选择

，对其上任一点

，弧

的长度是 

。依弧

的规定有：



若

在

的右侧，即

，则

，应取 

；

若

在

的左侧，即

，则

，应取 

。

总之，

，显然弧

确为

的单增函数。

2、弧的导数与微分

 设函数

的导函数

在

上连续，又设

， 

为

内两点，在曲线上的对应点分别为

与

，取为曲线上的一固定点为

。再设对应于

的增量

，弧

的增量为

,有











令

，则

，

，

, 


故     


因

是

的单调函数，根号前应取正号，于是


   或      


进一步地改写可得弧微分公式




所代表的几何意义如下图所示：



二、曲率及其计算公式

1、曲率的概念

直觉与经验告诉我们：直线没有弯曲，圆周上每一处的弯曲程度是相同的，半径较小的圆弯曲得较半径较大的圆要厉害些，抛物线在顶点附近弯曲得比其他位置厉害些。

何为弯曲得厉害些? 即： 用怎样的数学量来刻划曲线弯曲的程度呢? 让我们先弄清曲线的弯曲与哪些因素有关。





下面，我们给出刻划曲线弯曲程度的数学量 － 曲率的定义。

设曲线

具有连续转动的切线，在

上选定一点

作为度量弧的基点。



设曲线

上的点

对应于弧

，切线的倾角为

，曲线上的另一点

对应于弧

，切线的倾角为

。那么，弧段

的长度为 

，当切点从

移到点

时，切线转过的角度为 

。

比值

表示单位弧段上的切线转角，刻划了弧

的平均弯曲程度。称它为弧段

的平均曲率。记作 

。



当

时(即：

)，上述平均曲率的极限就称着曲线在点

处的曲率，记作

。


                                             (1)

当

存在时，有 

。

由上述定义知，曲率是一个局部概念，谈曲线的弯曲应该具体地指出是曲线在哪一点处的弯曲，这样才准确。

2、曲率的计算

【例2】求半径为

的圆上任一点处的曲率。



圆周上的任一点处的曲率均为

，这表明：圆周的弯曲程度处处一样， 且半径较小的圆周弯曲得更厉害些。

由例一可发现，利用曲率定义来计算曲率十分不便。下面，我们来推导曲线的曲率计算公式。

设曲线的直角坐标方程为 

，且

具有二阶导数。


（

是曲线的切线与 

 轴正向夹角）

两边对 

 求导得     



，   


又  


据曲率计算公式(1)有：


                                    (2)

若曲线为直线

，因

，那么 

。故直线的曲率为零。亦即：直线无弯曲。这与我们的常识是一致的。

假设曲线方程是参数方程  

  给出

则(2)式可相应地改成形式：


，

，


                             (3)

【例3】求抛物线

上任一点的曲率。



运行程序gs0304.m,可获得抛物线与其曲率函数的图象。

【例4】求立方抛物线

上任一点的曲率。



运行程序gs0305.m,可得立方抛物线与它的曲率函数的图象。



三、曲率圆与曲率半径



据上述定义有：

1、曲率与曲率半径的关系为：


2、曲线与它的曲率圆在同一点处有相同的切线，曲率，凹向。因此，可用圆率圆在点处的一段圆弧来近似地替代曲线弧。

下面推导曲率圆中心

的坐标计算公式。

设

的坐标为

，曲线

在点

处的曲率圆方程为



其中：

是动点坐标， 而

         (1)

因点

在曲率圆上，故


                             (2)

又曲线在点

处的切线与曲率圆的半径

垂直，故有


，

亦即：

                               (3)


                           (4)

由式(2)与式(4)消去

得：



注意到：当

，即曲线为凹弧时，

；

当

，即曲线为凸弧时，

，

总之

与

异号，因此，上式两边开方应取“ - ”号，有



将此式代入(3)式，有  

，从而得



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