POJ1741 Tree（树的点分治）

题目给一棵边带权的树，统计路径长度<=k的点对数。

楼教主男人八题之一，分治算法在树上的应用。

一开始看论文看不懂，以为重心和距离那些是一遍预处理得来的。。感觉上不敢想每棵子树都求一遍重心和距离——那样时间复杂度怎么会只有O(nlogn)？

后来想通了，真的是对于每颗子树都把其所有结点单独提取出来，而且这么做就是O(nlogn)！

首先每次都选择重心进行分治，这样最多大概处理logn层，每一层都包含若干棵子树；

考虑每一层的每棵子树要提取的结点个数的和：第一层：n，第二层：n-1(第一层子树个数)，第三层：n-(第一层子树个数+第二层子树个数)……不妨就认为每一层都有n个结点的信息要处理，而有logn层，所以其实总共就只有nlogn个（次）结点要处理；

对于每一层每棵子树求重心的时间复杂度是线性的，而每层n个结点，最多logn层，所以求重心时间的复杂度就是O(nlogn)；

对于这道题子树要计算的信息是各个结点到根的距离，然后对其排序并在线性时间复杂度统计点对数目，其处理每棵子树时间复杂度是O(xlogx)，x为该子树结点个数；不妨设某层各个子树结点个数为a、b、c……，而a+b+c+……=n，则aloga+blogb+clogc<=nlogn，共logn层，所以处理所有层所有子树信息的时间复杂度就是O(nlog2n)；

故这一题用点分治的时间复杂度是O(nlog2n)！

写这一题，捋清思路后分了好几个函数逐一实现，感觉框架挺清晰的，提交之后就1A还是很爽的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF (1<<30)
#define MAXN 11111

struct Edge{
int v,w,next;
}edge[MAXN<<1];
int NE,head[MAXN];
void addEdge(int u,int v,int w){
edge[NE].v=v; edge[NE].w=w; edge[NE].next=head[u];
head[u]=NE++;
}

int n,k,ans;
bool vis[MAXN];

int centre,minimum,size[MAXN];
void getSize(int u,int fa){
size[u]=1;
for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(v==fa || vis[v]) continue;
getSize(v,u);
size[u]+=size[v];
}
}
void getCentre(int u,int fa,int &tot){
int res=tot-size[u];
for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(v==fa || vis[v]) continue;
res=max(res,size[v]);
getCentre(v,u,tot);
}
if(minimum>res){
minimum=res;
centre=u;
}
}

int a[MAXN],b[MAXN],an,bn;
void dfs(int u,int fa,int dist){
a[an++]=b[bn++]=dist;
for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(v==fa || vis[v]) continue;
dfs(v,u,dist+edge[i].w);
}
}
int count(int *c,int &cn){
sort(c,c+cn);
int res=0,i=0,j=cn-1;
while(i<j){
while(i<j && c[i]+c[j]>k) --j;
res+=j-i;
++i;
}
return res;
}

void conquer(int u){
an=0; a[an++]=0;
for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(vis[v]) continue;
bn=0;
dfs(v,u,edge[i].w);
ans-=count(b,bn);
}
ans+=count(a,an);
}
void divide(int u){
getSize(u,u); minimum=INF; getCentre(u,u,size[u]);
u=centre;
vis[u]=1;
conquer(u);
for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(vis[v]) continue;
divide(v);
}
}

int main(){
int a,b,c;
while(scanf("%d%d",&n,&k),(n||k)){
NE=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=1; i<n; ++i){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
addEdge(a,b,c); addEdge(b,a,c);
}
ans=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
divide(1);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}