BNUOJ 51279[组队活动 Large](cdq分治+FFT)

传送门

大意：ACM校队一共有n名队员，从1到n标号，现在n名队员要组成若干支队伍，每支队伍至多有m名队员，求一共有多少种不同的组队方案。两个组队方案被视为不同的，当且仅当存在至少一名队员在两种方案中有不同的队友。

这年头真是……分治FFT都开始烂大街了……

我们来推一推吧

这显然是一个1d1d的DP，用f[i]表示i名队员的方案数

f[i]=∑j=0i−1f[i−j−1]∗Cji−1

即i−1个人里面选j个和i组队（似乎类似strling数）

然后化一下简，便可得到

f[i]=(i−1)!∑j=0i−1f[i−j−1](i−j−1)!∗1j!

一看这不是一个裸的卷积吗？是不是很一颗赛艇！我们就可以用NTT来优化一下了

考虑cdq分治处理[L,R]，我们先递归处理[L,Mid]，然后把[L,Mid]的f值取出来和(j!)−1来卷一卷。我们就可以得到[L,Mid]对[Mid+1,R]的贡献了。是不是很愉♂快啊!

我不知道其他人怎么写的，比我的慢这么多……

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MAXN 300005
#define LL long long
const LL MOD = 998244353LL, g = 3, T = 262144;
int n, k;
LL w[MAXN], inv[MAXN], invf[MAXN], dp[MAXN], x1[MAXN], x2[MAXN], jc[MAXN], tmp;
inline void Swap(LL &a, LL &b) { tmp=a; a=b; b=tmp; }
LL ksm(LL a, LL k) {
LL ans = 1;
for(; k; k >>= 1) {
if(k&1) ans = ans * a % MOD;
a = a * a % MOD;
}
return ans;
}
inline void Init() {
LL r = ksm(g, (MOD-1)/T); w[0] = 1; invf[0] = inv[0] = invf[1] = inv[1] = jc[1] = 1;
for(int i = 1; i < T; ++ i) w[i] = w[i-1] * r % MOD;
for(int i = 2; i < T; ++ i) jc[i] = jc[i-1] * i % MOD;
for(int i = 2; i < T; ++ i) inv[i] = (MOD-MOD/i) * inv[MOD%i] % MOD;
for(int i = 2; i < T; ++ i) invf[i] = (invf[i-1]*inv[i]) % MOD;
}
inline void NTT(LL *a, int n, int f) {
int i, j, k;
for(i = 0, j = 0; i < n; ++ i) {
if(i > j) Swap(a[i], a[j]);
for(k = (n>>1); (j^=k) < k; k >>= 1);
}
for(i = 1; i < n; i <<= 1)
for(j = 0; j < n; j += i<<1)
for(k = 0; k < i; ++ k) {
LL x = a[j + k], y = w[T/(i<<1)*k] * a[j + k + i] % MOD;
a[j + k] = (x + y) % MOD; a[j + k + i] = (x + MOD - y) % MOD;
}
LL invn;
if(-1 == f) for(std::reverse(a+1, a+n), invn = ksm(n, MOD-2), i = 0; i < n; ++ i) a[i]= a[i] * invn % MOD;
}
void cdq(int L, int R) {
if(L == R) return;
int mid = (L + R) >> 1;
cdq(L, mid);
int len = 1;
for(; len <= (R-L+1); len <<= 1);
for(int i = 0; i < len; ++ i) {
x1[i] = (i < k) ? invf[i] : 0;
x2[i] = (L + i <= mid) ? dp[L + i] : 0;
}
NTT(x1, len, 1); NTT(x2, len, 1);
for(int i = 0; i < len; ++ i) x1[i] = (x1[i] * x2[i]) % MOD;
NTT(x1, len, -1);
for(int i = mid+1; i <= R; ++ i) dp[i] = (dp[i] + x1[i-L-1]*inv[i]) % MOD;
cdq(mid+1, R);
}
int main() {
Init(); int T; scanf("%d", &T);
while(T --) {
scanf("%d%d", &n, &k);
memset(dp, 0, sizeof dp);
dp[0] = 1;
cdq(0, n);
printf("%lld\n", dp
*jc
%MOD);
}
}