排序算法6之堆排序

本文主要参考：

http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6709644/

堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

在这里补充一下，什么是完全二叉树：

完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

性质：

可以根据公式进行推导，假设n0n_0是度为0的结点总数（即叶子结点数），n1n_1是度为1的结点总数，n2n_2是度为2的结点总数，由二叉树的性质可知：n0=n2+1n_0=n_2+1，n=n0+n1+n2n= n_0+n_1+n_2（其中nn为完全二叉树的结点总数），由上述公式把n2n_2消去得：n=2n0+n1−1n= 2n_0+n_1-1，由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此得到n0=(n+1)/2n_0=(n+1)/2或n0=n/2n_0=n/2。

总结起来，就是 n0=[n/2]n_0=[n/2]，其中[]表示上取整。可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。

子节点和父节点的下标关系

作为数据结构意义上的堆，一般利用数组进行存储。比如：

当已知子节点的数组下标为ii时，父节点的数组下标为i−12\frac{i-1}{2}；

当已知父节点的数组下标为ii时，左子节点的数组下标为(2∗i+1)(2*i+1)，右子节点的数组下标为(2∗i+2)(2*i+2)。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中，代码如下：

void minHeapFixUp(int *p,int i)
{
int tmp=p[i];//i是子节点的下标
int j=(i-1)/2;//j是父节点的下标
while(j>=0)
{
if (p[j]<=tmp)
break;//如果父节点比子节点小，说明数组已经是有序的了。
p[i]=p[j];//否则交换父节点和子节点的位置
i=j;
j=(i-1)/2;
}
p[i]=tmp;
return;
}//插入节点

//在最小堆中加入新的数据nNum
void MinHeapAddNumber(int *p, int n, int nNum)
{
p
= nNum;
minHeapFixUp(p, n);
}

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和左右子节点中较小交换。

void minHeapFixDown(int *p,int i,int n)
{
int tmp=p[i];//n是节点个数
int j=2*i+1;//i是父节点，j是子节点
while(j<n)
{
if((j+1)<n&&(p[j+1]<p[j]))
j++;//找出左右子节点中较小的
if(tmp<p[j])//如果父节点比子节点小，说明已经是正确顺序
break;
p[i]=p[j];//否则交换父节点和子节点
i=j;
j=2*i+1;
}
p[i]=tmp;
return;
}//剔除节点后，重新排列成堆
void swap(int& a,int& b)
{
int tmp;
tmp=a;
a=b;
b=tmp;
}

//在最小堆中删除数
void MinHeapDeleteNumber(int *p, int n)
{
swap(p[0], p[n-1]);
MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
}

堆化数组

由于叶子节点是不需要比较大小的，所以可以认为所有的叶子节点都是正确排列的，那么叶子节点之前的父节点，可以理解为一个个待排序的根节点，也就是一个“下沉”过程。由完全二叉树的性质，存在n0=[n/2]n_0=[n/2]个叶子节点，如果在c++里定义就是n0=n2+1n_0=\frac{n}{2}+1个叶子节点，也就是存在n/2n/2个父节点，那么我们需要从数组下标i=n2−1i=\frac{n}{2}-1处开始进行“下沉”过程：

void MakeMinHeap(int p*, int n)
{
for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
MinHeapFixdown(p, i, n);
}

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

void MinheapsortTodescendarray(int p*, int n)  //n是总的节点数
{
for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
{
swap(a[i], p[0]);  //将根节点删除
MinHeapFixdown(p, 0, i);
}
}

时间复杂度分析

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)O(logN)，共N−1N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N/2N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)O(logN)。二次操作时间相加还是O((3∗N2−1)∗logN)=O(NlogN)O((\frac{3*N}{2}-1)* logN)=O(NlogN)。故堆排序的时间复杂度为O(N∗logN)O(N * logN)。