一些关于贾志鹏线性筛的知识

贾志鹏线性筛，是一个神奇的东西，可以O(n)筛出积性函数在1-n范围内的值

我们都学过素数筛，贾志鹏线性筛和素数筛是差不多的

关于积性函数……我并不知道有哪些，只知道有欧拉函数和莫比乌斯函数，当然，我只会欧拉函数的筛法

欧拉函数的公式是phi(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*……*(1-1/pn) n=p1^q1*……*pn^qn

所以我们可以在这个公式上做一做文章

显然，当我们第一次遇见pi的倍数，phi(n)=phi(pi)*phi(n/pi)，又因为pi是质数，phi(pi)=pi-1

当我们第二次遇到pi的倍数及以上，phi(n)=pi*phi(n/pi)

所以可以很自然地写出下列程序：





for (i=2;i<=n;i++){

if (!check[i]){

a[i]=i-1;

prime[tot++]=i;

}

for (j=0;j<tot;j++){

if (i*prime[j]>n) break;

check[i*prime[j]]=true;

if (i % prime[j]){

a[i*prime[j]]=a[i]*(prime[j]-1);

}

else{

a[i*prime[j]]=a[i]*prime[j];

break;

}

}

}

其中那个break是因为：

假设第一次遇见素数p，是因为n=pm，这一次是n=p'm'

那么因为n=pm=p'm'，p，p'都是质数

所以p|m'

所以p后面的p'*m'都可以转化成p乘上一个数

因为每个数的欧拉函数都只会被计算一次，所以时间复杂度为O(n)

提供例题*2，bzoj2818和bzoj2190