Codeforces Round #343 (Div. 2) D. Babaei and Birthday Cake

题意：有几个蛋糕，要求把他们按照这样的方式堆起来：

下面的编号比上面的小；下面的体积比上面的小。

求把这些蛋糕堆起来能得到的最大体积是多少。

思路：

首先，一定要排序。按照编号排还是按照体积排？

题目中输入顺序就是按照编号排序的。先考虑按照编号排序。对于每个i，要找到j小于i，且V(j) < V(i)中总体积最大的j，然后到i的最优解就是j的最优解加上V(i)。

初步看上去，好像是dp。

如果每次找j用扫描的办法，可以解决问题，但是复杂度是n方的。

如果每次不用扫描，用线段树来保存从1到i的最大值，这样复杂度世够了，但是无法保证V(j) < V(i)。

按照编号排序貌似不行，但是感觉就差一点点。

换成按照体积排序。这样，我们每次选择到蛋糕一定能满足V(j) < V(i)，而且用线段树很容易求出1到i中的最优解，这样两个条件就都能满足了。

因为题目要求V(j)严格小于V(i)，所以排序的时候，对于相等的体积，序号小的要放后面。

官方给出题解的译文：

首先，我们计算每个蛋糕的体积： vi=π∗hi∗r2i

现在，考虑序列 v1,v2,v3,…,vn ：问题的答案是这个序列中递增子序列的最大和。我们怎么样解决它？首先去掉小数，我们可以定义一个新的数组 a1,a2,a3,…,an,ai=vi/π=hi∗r2i

我们考虑 dpi 是以 ai 结束的序列和的最大值且

dpi=max(ai,maxj<i,aj≤aidp[j]+ai)

这个问题的答案就是： π∗maxi=1tondp[i]

现在，我们怎么计算 dpi=max(ai,maxj<i,aj≤aidp[j]+ai) ？我们使用一个线段树，这个线段树有两种操作：1.将第i个数更改为v；2.找出1到i中最大的数。

现在，我们将dp与线段树结合寻找答案。

假设 a1,a2,a3,…,an 已经排序好了。我们定义 bi是ai 的位置。现在填充 dpi ，我们找出区间 [1,bi] 中最大的， 设为x，然后将线段树中 bi 个位置设置成 ai+x 。问题的答案就是区间[1,n]中的最大值。

时间复杂度： O(nlogn)

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;

const double PI = acos(-1);

struct Cake{
ll V;
int id;
bool operator < (const Cake a) const {
if(V != a.V)
return V<a.V;
return id>a.id;
}
}cake[100005];

ll dp[400005];

int p;ll v;
void update(int l,int r,int o){
if(l == r){
dp[o] = v;return;
}
int m = (l+r)/2;
if(p<=m)update(l,m,o*2);
else update(m+1,r,o*2+1);
dp[o] = max(dp[o*2],dp[o*2+1]);
}

int ql,qr;
ll query(int l,int r,int o){
if(l>=ql && r <= qr)return dp[o];
ll ret = 0;
int mid = (l+r)/2;
if(ql <= mid) ret = max(ret,query(l,mid,o*2));
if(qr > mid) ret = max(ret,query(mid+1,r,o*2+1));
return ret;
}

int main()
{
//    freopen("data.txt","r",stdin);
memset(dp,0,sizeof(dp));
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i<= n; ++i){
ll r,h;
scanf("%lld%lld",&r,&h);
cake[i].V =  r * r * h;
cake[i].id = i;
}
sort(cake+1,cake+n+1);
for(int i = 1; i <= n ; ++i ){
ql = 1;qr = cake[i].id;
v = query(1,n,1) + cake[i].V;
p = cake[i].id;
update(1,n,1);
}
ql = 1;qr = n;
ll ans = query(1,n,1) ;
printf("%.6lf\n",  ans * PI);
return 0;
}