hdu5290 Bombing plan(树DP)

题意：给一棵树，边长都是1，每个点有个点权w[i]，表示这个点能覆盖与其距离多远的点。选最少的点覆盖树上所有点。N<=10W, w[i]<=100.

树DP好久都没练了，并且感觉以前也不是特别擅长写树DP，见的模型也不多。以前的树DP基本都是多叉转二叉，记录向上若干节点的信息，树背包等套路，这道题不一样，因为是无根树，每个点不仅会辐射他的父亲，还对他儿子有影响。我们要开两个DP数组,f[i][j]表示i节点子树全部被覆盖，且与其距离为j的祖先也被辐射的距离，g[i][j]表示i的子树中未覆盖完且未覆盖的离i最远的点离i的距离为j的最小代价。以前做DP的时候非常避讳同时转移多个值，因为这样可能一些最优化信息被覆盖掉。而这里不一样，这两个数组描述的是一个最优化信息，可以互相辅助转移。以后碰到每个点辐射周围一定距离的树DP可以采用这种套路。

这道题还有一个重要的地方在于DP数组单调性的维护。由于一些奇怪的原因在转移的过程中会出现价值更高的决策反而代价更小，我们用前缀或后缀最值的方法，用价值更高的决策的代价去更新价值更低的决策的代价。比如说当f[i][j]<f[i][j-1]的时候，我们完全可以直接用f[i][j]代替f[i][j-1]来转移，因为能多覆盖一定比少覆盖更优，这种情况直接用f[i][j]的值去更新f[i][j-1]即可。

这道题上所体现出来的思想非常有价值。以前谈道DP的优化总是想起什么单调队列，斜率优化，数据结构优化之类复杂却非常死板的东西。而这里用了一些非常简单的技巧就使得DP转移的复杂度从nw^2降到了nw，确实很强。开始看课件时只是大致感受到了怎么优化，具体实现还是参考了下别人的代码。以后要多积累经验。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define erp(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define LL long long
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 100002;
int w[MAXN], N;
int f[MAXN][102], g[MAXN][102];
inline void gmin(int&a, const int&b) { a>b?a=b:0; }

struct Ed {
int to; Ed*nxt;
} Edges[MAXN*2], *ecnt, *adj[MAXN];
void adde(int a, int b)
{
(++ecnt)->to = b;
ecnt->nxt = adj[a];
adj[a] = ecnt;
}

void dfs(int u, int fa)
{
rep(i, 0, 100) f[u][i] = inf;
memset(g[u], 0, sizeof g[u]);
int sum = 1, v;
for (Ed*p = adj[u]; p; p=p->nxt)
{
v = p->to;
if (v == fa) continue;
dfs(v, u);
if (w[u]) sum += g[v][w[u]-1];
else sum += f[v][0];
g[u][0] += f[v][0];
rep(i, 1, 100) g[u][i] += g[v][i-1];
}
for (Ed*p = adj[u]; p; p=p->nxt)
{
v = p->to;
if (v == fa) continue;
gmin(f[u][0], f[v][1] + g[u][0] - f[v][0]);
rep(i, 1, 99) gmin(f[u][i], f[v][i+1] + g[u][i] - g[v][i-1]);
}
rep(i, 0, w[u]) gmin(f[u][i], sum);
erp(i, 99, 0) gmin(f[u][i], f[u][i+1]);
gmin(g[u][0], f[u][0]);
rep(i, 1, 100) gmin(g[u][i], g[u][i-1]);
}

int main()
{
int u, v;
while (~scanf("%d", &N))
{
rep(i, 1, N) adj[i] = 0;
ecnt = Edges;
rep(i, 1, N) scanf("%d", w+i);
rep(i, 1, N-1)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
adde(u, v), adde(v, u);
}
dfs(1, 0);
printf("%d\n", f[1][0]);
}
return 0;
}