算法导论第三版习题6.4

6.4-1

(a) 首先调用BUILD-MAX-HEAP(A)得到最大堆A1={25,13,20,8,7,13,2,5,4}A_1=\{25,13,20,8,7,13,2,5,4\}

(b) 然后将A[1]和A[9]A[1]和A[9]交换得到A2={4,13,20,8,7,17,2,5,25}A_2=\{4,13,20,8,7,17,2,5,25\}，然后调用MAX-HEAPIFY(A,1)，此时A.length=8A.length=8，得到A3={20,13,17,8,7,4,2,5,25}A_3=\{20,13,17,8,7,4,2,5,25\}，此时交换A[1]和A[A.length]A[1]和A[A.length]得到A′3={5,13,17,8,7,4,2,20,25}A_3^{'}=\{5,13,17,8,7,4,2,20,25\}，继续循环得到Asorted={2,4,5,7,8,13,17,20,25}A_{sorted}=\{2,4,5,7,8,13,17,20,25\}

6.4-2

初始化：第一次循环时，i=A.lengthi=A.length，显然A[1..A.length]A[1..A.length]是包含了数组A[1..n]A[1..n]中第A.lengthA.length小元素的最大堆，而子数组A[A.length..n]=∅A[A.length..n]=\emptyset显然包含里n−A.length=0n-A.length=0个最大元素，循环不变式成立。

保持：在第ii次循环中，由于堆A已经经过MAX-HEAPIFY(A,1)成为了最大堆，故A的根节点元素是堆中最大的元素，然后将A的根节点与A[A.A[A.heap-size]]交换，然后A.heap-size==A.heap-size−1-1，继续调用MAX-HEAPIFY(A,1)，然后堆A又成为了新的最大堆。由于在每次循环中堆A中最大的元素都会交换到A.heap-size位置，故交换后A[A[A.heap-size+1]+1]大于A[A[A.heap-size]]，依次类推，子数组A[i+1..n]A[i+1..n]包含了数组A[1..n]A[1..n]中已排序的n−in-i个最大元素，而子数组A[1..i]A[1..i]就是包含了数组A[1..n]A[1..n]中第ii小元素的最大堆，所以循环不变式保持。

终止：当i=2i=2时，此时所有A[3..n]A[3..n]包含了数组A[1..n]A[1..n]中已排序的n−2n-2个最大元素，然后A[1..2]A[1..2]还是最大堆，将A[1]和A[2]交换之后整个数组A就排序好了

6.4-3

若本身A就是升序序列，首先生成最大堆需要O(n)O(n)时间，然后再要调用n−1n-1次MAX-HEAPIFY(A,1)，需要O(lgn)O(lgn)时间，所以总的需要O(nlgn)O(nlgn)时间

6.4-4

最坏的情况就是当A已经是升序排列时，此时需要O(nlgn)O(nlgn)时间，故HEAPSORT的时间复杂度为Ω(nlgn)\Omega(nlgn)