时间复杂度

一、概念

<span style="color: rgb(255, 0, 0);">时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项</span>(不含系数)
比如：一般总运算次数表达式类似于这样：
a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f
a ！ =0时，时间复杂度就是O(2^n);
a=0,b<>0 =>O(n^3);
a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推

eg:

<span style="font-family: arial, 宋体, sans-serif; line-height: 24px; background-color: rgb(252, 254, 252);"></span><pre id="question-content" style="white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word; line-height: 22px; margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding: 0px; font-family: Arial; zoom: 1;">(1)   for(i=1;i<=n;i++)<span style="color: rgb(0, 102, 0);">   //循环了n*n次，当然是O(n^2)</span>
for(j=1;j<=n;j++)
s++;
(2)   for(i=1;i<=n;i++)<span style="color: rgb(0, 153, 0);">//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)</span>
for(j=i;j<=n;j++)
s++;
(3)   for(i=1;i<=n;i++)<span style="color: rgb(0, 153, 0);">//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2)</span>
for(j=1;j<=i;j++)
s++;
(4)   i=1;k=0;

while(i<=n-1){

k+=10*i;

i++; }

<pre id="question-content" style="white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word; margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding: 0px; font-family: Arial; zoom: 1;"><span style="color: rgb(0, 153, 0);">//循环了</span>

n-1≈n次，所以是O(n)

(5) for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=i;j++)

for(k=1;k<=j;k++)

x=x+1;

//

循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)

另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：

</pre>

log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)
所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的

二、计算方法

1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且<span style="color: rgb(255, 0, 0);">一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例</span>，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

<span style="color: rgb(255, 0, 0);">一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。</span>

<span style="color: rgb(255, 0, 0); font-family: Arial; line-height: 22px;"><span style="font-family: arial, 宋体, sans-serif; line-height: 24px; background-color: rgb(255, 252, 246);"></span></span><pre id="best-answer-content" class="reply-text mb10" name="code" style="white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word; margin-top: 0px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; font-family: Arial; zoom: 1; line-height: 22px;">2.一般情况下，<span style="color: rgb(204, 0, 0);">算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））</span>。随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

<span style="color: rgb(255, 0, 0);">在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级</span>（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））。

3.常见的时间复杂度

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

<span style="color: rgb(255, 0, 0);">常数阶O(1),  对数阶O(log2n),  线性阶O(n),  线性对数阶O(nlog2n),  平方阶O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。</span>

<span style="color: rgb(255, 0, 0);"><span style="font-family: arial, 宋体, sans-serif; line-height: 24px;"></span></span><pre class="reply-text mb10" id="content-578326915" name="code" style="white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word; margin-top: 0px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; font-family: Arial; zoom: 1;">其中，<span style="font-family: monospace;"></span><pre id="best-answer-content" class="reply-text mb10" name="code" style="white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word; margin-top: 0px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; font-family: Arial; zoom: 1;"><pre id="best-answer-content" class="reply-text mb10" name="code" style="white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word; margin-top: 0px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; font-family: Arial; zoom: 1;">1.O(n)，O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k) 为多项式阶时间复杂度，分别称为一阶时间复杂度，二阶时间复杂度。。。。

2.O(2^n)，指数阶时间复杂度，该种不实用

3.<span style="color: rgb(255, 0, 0);">对数阶O(log2n),   线性对数阶O(nlog2n)，除了常数阶以外，该种效率最高</span>

例：算法：
for（i=1;i<=n;++i）
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
c[ i ][ j ]=0; <span style="color: rgb(0, 153, 0);">//该步骤属于基本操作 执行次数：n^2</span>

for(k=1;k<=n;++k)
c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ];<span style="color: rgb(0, 153, 0);"> //该步骤属于基本操作 执行次数：n^3</span>
}
}
则有 T（n）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级
则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3)

四、