数学背景知识课程笔记
2016-02-25 23:13
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集合(Set)
集合中不能包含重复的元素。
并集和交集
x∈S∪T等价于x∈S or x∈T
x∈S∩T等价于x∈S and x∈T
集合属性
S∪T=T∪S
S∩(T∪U)=(S∩T)∪(S∩U)
(Sc)c=S
S∪Ω=Ω
S∪(T∪U)=(S∪T)∪U
S∪(T∩U)=(S∪T)∩(S∪U)
S∩Sc=∅
S∩Ω=S
De Morgan’s laws
序列
序列是一个有序的集合,它可以有重复的元素。
如果对于所有的i来说,ai≤ai+1,序列要么收敛到∞,要么收敛到一个实数。
如果对于所有的i有|ai−a|≤bi,并且bi→0,那么ai→a
无穷级数
∑i=1∞ai=limn→∞∑i=1nai
如果对于所有的ai≥0,那么极限存在。这是因为随着i不断增大,和也在不断变大,单调的序列要么收敛到一个实数,要么收敛到∞.对于所有的ai≤0同理。
如果所有的ai并不具有相同的符号:
极限可能不存在。
极限可能存在,但是不同加和的顺序可能导致不同的结果。
如果∑i=1∞|ai|<∞,那么极限一定存在并且与加和的顺序没有关系。
几何级数(Geometric Series)
几何级数是在连续项之间具有恒定比例的级数。
多索引级数的加和顺序
由于上图中的所有±1的绝对值和趋于∞,那么它并不满足那个条件,所以加和顺序的不同可能影响到极限的结果不同。
可数与不可数无限集(Countable versus Uncountable infinite sets)
Countable set:无论这个集合是有限的还是无限的,Countable Set中的元素在任何时刻都可以被计数,尽管计数有可能始终不会完成,集合中的每个元素都与一个自然数相关联。
用Cantor’s diagonalization argument 证明实数是Uncountable
集合中不能包含重复的元素。
并集和交集
x∈S∪T等价于x∈S or x∈T
x∈S∩T等价于x∈S and x∈T
集合属性
S∪T=T∪S
S∩(T∪U)=(S∩T)∪(S∩U)
(Sc)c=S
S∪Ω=Ω
S∪(T∪U)=(S∪T)∪U
S∪(T∩U)=(S∪T)∩(S∪U)
S∩Sc=∅
S∩Ω=S
De Morgan’s laws
序列
序列是一个有序的集合,它可以有重复的元素。
如果对于所有的i来说,ai≤ai+1,序列要么收敛到∞,要么收敛到一个实数。
如果对于所有的i有|ai−a|≤bi,并且bi→0,那么ai→a
无穷级数
∑i=1∞ai=limn→∞∑i=1nai
如果对于所有的ai≥0,那么极限存在。这是因为随着i不断增大,和也在不断变大,单调的序列要么收敛到一个实数,要么收敛到∞.对于所有的ai≤0同理。
如果所有的ai并不具有相同的符号:
极限可能不存在。
极限可能存在,但是不同加和的顺序可能导致不同的结果。
如果∑i=1∞|ai|<∞,那么极限一定存在并且与加和的顺序没有关系。
几何级数(Geometric Series)
几何级数是在连续项之间具有恒定比例的级数。
多索引级数的加和顺序
由于上图中的所有±1的绝对值和趋于∞,那么它并不满足那个条件,所以加和顺序的不同可能影响到极限的结果不同。
可数与不可数无限集(Countable versus Uncountable infinite sets)
Countable set:无论这个集合是有限的还是无限的,Countable Set中的元素在任何时刻都可以被计数,尽管计数有可能始终不会完成,集合中的每个元素都与一个自然数相关联。
用Cantor’s diagonalization argument 证明实数是Uncountable