Codeforces #341 div 2 E. Wet Shark and Blocks(矩阵快速幂)

题目链接：

http://codeforces.com/contest/621/problem/E

题目大意：

给b个block，每个block有n个数，现在从每个block里面选一个数然后首尾串起来组成一个新的数，对这个数取模x以后，问结果等于k的种类数。

范围：

2 ≤ n ≤ 50 000, 1 ≤ b ≤ 109, 0 ≤ k < x ≤ 100, x ≥ 2

思路：

首先可以想到用dp，设dp[i][j]为选到第i个block时候取模为j的种类数，此时有：dp[i+1][(j*10+k)%mod]+=dp[i][j]*num[k]。（1<=k<=9）

但是这里的b很大，关系又是线性的，所以想到用矩阵快速幂。

我们可以构造出一个矩阵m[i][j]，表示从i到j的种类数。

初始情况下，有一个dp[x]={1,0,0，……}。

那么只看一个block的情况的时候，就有dp[x]*m[x][x]，此时获得的行矩阵就是只选一个的时候的情况数。

2个的时候，就是dp[x]*m[x][x]*m[x][x]。

……

这样就是dp[x]*(m[x][x])^n。

而初始的时候的m[x][x]，我们可以知道m[i][(j*10+k)%x]+=num[j]。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define mod 1000000007
#define ll __int64
using namespace std;
struct Mat{
ll mat[101][101];
void init(){
memset(mat,0,sizeof(mat));
}
};
int M,cnt[11],x;
Mat operator * (Mat a, Mat b) {
Mat c;
memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
int i, j, k;
for(k = 0; k < M; ++k) {
for(i = 0; i < M; ++i) {
for(j = 0; j < M; ++j) {
c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]);
c.mat[i][j]=(c.mat[i][j]+mod)%mod;
}
}
}
return c;
}
Mat operator ^ (Mat a, ll  k) {
Mat c;
int i, j;
for(i = 0; i < M; ++i)
for(j = 0; j < M; ++j)
c.mat[i][j] = (i == j);    //初始化为单位矩阵

for(; k; k >>= 1) {
if(k&1) c = c*a;

a = a*a;
}
return c;
}
int main()
{
Mat a1,a2;
int n,i,j,k,K,b,a[50005];
while(~(scanf("%d",&n)))
{
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
a2.init();
scanf("%d%d%d",&b,&K,&x);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
cnt[a[i]]++;
}
M=x;
for(i=0;i<x;i++)
for(j=0;j<=9;j++)
{
a2.mat[i][(i*10+j)%x]+=cnt[j];
}
a1.init();
a1.mat[0][0]=1;
a2=a2^b;
a1=a1*a2;
printf("%I64d\n",a1.mat[0][K]);
}
}