POJ 2096（概率DP）

题目链接：POJ 2096

解题思路：

总的来说状态方程还是蛮好想的，每次找bug的时候，有可能会出现四种情况，一是在已经找到bug的系统中找到了旧bug，二是在新的系统中找到旧bug，三是在已经找到bug的系统中找到了新bug，二是在新的系统中找到新bug。于是，状态dp[i][j]表示在 j 个系统中找到 i 个bug需要的天数期望，初始状态dp[0][0]=0，状态转移方程如下：

dp[i][j] = dp[i][j]*(i*j/n/s) + dp[i][j-1]*(i*(s-j+1)/n/s)
+ dp[i-1][j]*((n-i+1)*j/n/s) + dp[i-1][j-1]*((n-i+1)*(s-j+1)/n/s) + 1

通过移向可以得到新的一条方程：

dp[i][j] = (dp[i][j-1]*(i*(s-j+1)/n/s) + dp[i-1][j]*((n-i+1)*j/n/s)
+ dp[i-1][j-1]*((n-i+1)*(s-j+1)/n/s) + 1) / (1-i*j/n/s)

然而，这样做是会有问题的，问题在于最后一次递推，即 i = n 且 j = s 的时候，会出现除以0的情况，这样显然得不到正确结果，而且这也间接说明，这个状态方程其实是错的。因此我们需要对状态进行修改，即状态dp[i][j]表示在 j 个系统中找到 i 个bug后，距离目标状态的天数期望，初始状态dp
[s]=0，状态转移方程如下：

dp[i][j] = dp[i][j]*(i*j/n/s) + dp[i][j+1]*(i*(s-j)/n/s)
+ dp[i+1][j]*((n-i)*j/n/s) + dp[i+1][j+1]*((n-i)*(s-j)/n/s) + 1

最终转移方程如下：

dp[i][j] = (dp[i][j+1]*(i*(s-j)/n/s) + dp[i+1][j]*((n-i)*j/n/s)
+ dp[i+1][j+1]*((n-i)*(s-j)/n/s) + 1) / (1-i*j/n/s)

AC代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n,s;
double dp[1005][1005];

int main()
{
while(~scanf("%d %d",&n,&s))
{
double p1,p2,p3;

for(int i=n;i>=0;i--)
{
for(int j=s;j>=0;j--)
{
if(i==n&&j==s)
continue;

p1=double((n-i)*j)/n/s;
p2=double((i)*(s-j))/n/s;
p3=double((n-i)*(s-j))/n/s;

dp[i][j]=(p1*dp[i+1][j] + p2*dp[i][j+1] + p3*dp[i+1][j+1] + 1) / (1.0-double(i*j)/n/s);
}
}
printf("%.4f\n",dp[0][0]);
}

return 0;
}

总结：

1、概率DP，套基本的期望公式即可；

2、逆向递推，

3、此题精度有毒