Mercer's Theorem的证明

[由于还没有完全学会PHP和HTML，暂时先用新浪博客写一部分文档，之后等自己建出来个人网站后，在将博客移动至个人网站。今天算是人生以来第一个博客吧！]

在学习Kernel和RKHS的时候有遇到一个定理为Mercer's Theorem，网上基本没有多少详细的证明，看了维基百科和一个google出来的网站后明白了如何证明，编写在这里。

首先Copy出来Mercer's Theorem：

定理中引入了本征函数（eigenfunctions）和本征值（eigenvalues）的概念，其实就和线代中的矩阵特征值和特征向量相似。因为矩阵A也是一种线性映射，而这里的本征函数和本征值也是对一个线性映射算子所说的，只不过这里的线性映射是一种函数映射方式。记定理中的线性映射为Tk，则Tk的映射方式便是上式（1.48），上述的本征值和本征函数便是该线性映射Tk对应的本征函数和本征值，满足：

                                                                  （记为式1）

式1由本征函数和本征值的定义得到。

由于Tk的一组标准正交本征函数（即所有的）可以作为一个函数基，因此k(x,y)可以用这些函数基线性表示，设线性表示中每个基前的系数为Mi，可以得到

  （在式中用Mi代替）

又由标准正交基的性质可以得到：

1（i=j）or  0（i不=j）                         （式2）

然后将线性表示后的k(x,y)带入式1中，积分号和求和号互换位置，利用基函数的正交特性即式2，便可得到Mi=，代回k(x,y)的线性表示中便可得到式（1.49），证明完成。

（还是赶紧学latex吧...写的真难看

）