二叉树——基本概念

二叉树（Binary Tree）

1.二叉树的定义

  二叉树的定义是以递归形式给出的：

  一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。

  二叉树有5种基本形态，如图1所示，任何复杂的二叉树都是这5种基本形态的复合，其中图（a）是空二叉树，图（b）是单结点的二叉树，图（c）是右子树为空的二叉树，图（d）是左子树为空的二叉树，图（e）是左右子树都不为空的二叉树。



  由于二叉树区分左右子树，由n个结点组成的二叉树共有Cn2n(n+1)种。

2.二叉树的性质

性质 1 非空二叉树的第i层最多有2i−1个结点。

性质 2 高度为k的二叉树最大节点数为2k−1个。(k≥−1)

性质 3 对任何一颗二叉树，如果其叶子节点个数为n0，度为2的非叶子节点个数为n2，则有n0=n2+1。

定义 1 满二叉树(Full Binary Tree)

  高度为k的满二叉树是有2k−1个结点的二叉树，因此，在满二叉树中，每一层结点都达到了最大个数。除最底层结点的度为0外，其它各层结点的度都为2。

定义 2 完全二叉树(Complete Binary Tree)

  如果一棵具有n个结点的高度为k的二叉树，它的每一个结点都与高度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应，则称这棵树为完全二叉树。

性质 4 具有n个结点的完全二叉树的高度为⌈log2(n+1)⌉或⌊log2n⌋+1。

性质 5 如果将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自左向右连续给节点编号为1,2,3,···,n，然后按此结点编号将树中各结点顺序地存放于一个一位数组中，并简称编号为i的结点为结点i（1≤i≤n）。则有以下关系：

若i≤⌊n/2⌋，即2i≤n，则编号为i的结点为分支结点，否则为叶子结点。

若n为奇数，则每个分支结点都既有左孩子结点，也有右孩子结点；若n为偶数，则编号最大的分支结点（编号为⌊n/2⌋）只有左孩子节点，没有右孩子结点，其余分支结点都有左右孩子结点。

若编号为i的结点有左孩子结点，则左孩子结点的编号为2i，若编号为i的结点有右孩子结点，则右孩子结点的编号为(2i+1)。

除根结点外，若一个结点的编号为i，则它的双亲结点的编号为⌊i/2⌋，也就是说，当i为偶数时，其双亲结点的编号为i/2，它是双亲结点的左孩子结点，当i为奇数时，其双亲结点的编号为(i-1)/2，它是双亲结点的右孩子结点。

3.二叉树的抽象数据类型

//对象：结点的有限集合。二叉树是有序树。
templete <class Type> class Binary {
public:
//构造函数，构造一棵空的二叉树
BinaryTree();
//构造函数，以item为根,lch和rch为左、右子树，构造一棵二叉树
BinaryTree(BinTreeNode<Type> *lch, BinTreeNode<Type> *rch, Type item);
//判断一棵二叉树是否而空，如果二叉树为空，则函数返回1，否则返回0
int IsEmpty();

//返回父节点的地址
BinTreeNode<Type> *Parent(BinTreeNode<Type> *);
//返回左孩子的地址
BinTreeNode<Type> *LeftChild(BinTreeNode<Type> *);
//返回右孩子的地址
BinTreeNode<Type> *RightChild(BinTreeNode<Type> *);

//插入新元素
int Insert(const Type & item);
//搜索元素
int Find(const Type & item) const;
//取得结点值
Type GetData() const;
//取根
const BinTreeNode<Type> * GetRoot() const;
};

二叉树的存储结构

1.二叉树的顺序存储结构

  用一组地址连续的存储单元来存放二叉树的数据元素。先将其按完全二叉树的节点标号（从1开始），其编号从小到大的顺序就是结点存放在连续存储单元的先后次序（其中#表示空结点）。

  优点：已经一个结点的编号，能够方便地找到其双亲结点和孩子结点。

  缺点：不适合结点的删除和插入，也就是说不适合结点的动态变化。

2.二叉树的链式存储结构

  二叉树中每一个结点用链表中的一个链结点来存储。其结点结构如下：

lchild	data	rchild

  对应的结点类型声明如下：

struct TreeNode {
char val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode(int x) : val(x),left(NULL),right(NULL) {}
};