数据结构与算法——图

图

在图中，节点之间的关系是任意的，任意两个节点之间都可能有关系



图的术语巨多无比，接下来给大家总结一下：

图分为有向图、无向图，无向图由定点和边组成，有向图有顶点和弧组成，弧分为弧头、弧尾。

图按照节点和边（弧）的多少分为，稀疏图、稠密图，这两者没有具体界定只是个人感觉概念。任意两个顶点之间都存在边就叫完全图，有向的叫有向完全图，无重复的边或者顶点到自身的边叫简单图。

顶点之间有邻接点、依附概念。无向图顶点的边数叫度，有向图分为入度、出度。

图上的边、弧带有权的叫网

顶点直接存在路径，两顶点直接存在路径就说明是连通的。如果路径能回到最初点就叫环，不重复的叫简单路径。任意两点都是连通的叫连通图，有向的叫强连通图。图中若包含子图，子图的最大连通就是连通分量，有向的称为强连通分量。

无向图中，连通且n个点，n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1叫有向树，一个图由若干条有向树组成叫生成森林。

上面的皆是图的定义，完全不用背，多看几幅图就明白了。

图的存储

由于图没有顶点的概念且结构复杂，任意两点都有可能存在关系。所以用单纯的线性结构是不能存储的，所以请看下面各位前辈提供的存储方式。

邻接矩阵：图是由顶点跟边组成的，那大家自然能想到的最直接的方式就是分开存储，但完全分开又没有关系的链接了。那分开又有关系的方法就是二维数组了。如下图

顶点分别是V0,V1,V2,V3，而下列的表就组成了一个边数的数组。有填1，没有填0，V1的度（连接V1得边数）为2。主对角斜线是V0-V0,V1-V1,V2-V2,V3-V3,不存在顶点到自身的边。

以主对角线为准是不是就形成了对称矩阵，这样的话只存一个三角就可以了。。。。

如下图，主对角线是0，但是因为此图是有向的所以并不对称。横向为入度，竖向为出度。所以图中横向的V1出度为2，竖向V1出度为1。



每条边上带权的图就叫网，下列就是一个有向网图。那么解释一下权，图中V0到V4得弧上有数字6.这就是一条带权的边。所以下列左边的图为一个有向网图



接下来创建邻接矩阵，其实就是给顶点表和边表输入数据的过程。

邻接矩阵是一个不错的存储方式，但是如果一个图里只有一条有权的边呢？那整个矩阵之中只有一个是有值得其他都为空，这样就大大的浪费了空间资源。

所以我们想出了新的办法：邻接表



至于存储带权值的的网图，就再定义一份数据域存储权值即可。

十字链表

邻接表是由缺陷的，关心了出度问题想了解入度就必须全部遍历才可以。反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度的情况，那么有没有办法把邻接表和逆邻接表结合起来？

那就是十字链表：



上图就是十字链表，看起来比较杂乱，但是，很好理解。以V1为例，一块空间指向1 0 和 1 2是出度，一块指向 2 1 是入度。这样就做到同时指向两块关系内存了。

下面是邻接多重表：

如果在无向图中，我们关注的是顶点，那此时用邻接多重表是不错的选择。

ivex和jvex是某条边的两个顶点，ilink和jlink是指向ivex和jvex的吓一条边。



最后一个方法是边集数组：

是从begin开始到end得一条边，权为weight。



说了这么多得图的存储方式，他该怎么遍历呢？那么我们的遍历原则是：从某一个顶点出发访问遍图中其余点使每个顶点只被访问一次。

方式有两种：

1.深度优先遍历：

下图是我们储存数组之后的抽象形状。以A为例，A有两条边通向B和F，可以形成下图右边的图形。



依照上图右手边图形遍历，第一个遍历A然后记录并继续向下，一直继续到F都没有重复，继续右边是A，我们已经记录过所以后退回到F继续到G发现BD都走过那就后退，再来是H。此时我们已经遍历了一整个线路，但是还有很多没有遍历，那么这个时候我们要后退到G发现没有未便利过的，继续后退F，后退到E发现可以，可是H已经记录过，那么继续后退。 

总结起来就是优先遍历下面的一层层回退到最顶端

void DFSTraverse(MGraph g){
int i;
for(i=0;i<g.numVertexes; i++)
visited[i]=FALSE;                  //初始化都没被访问
for(i=0;i<g.numVertexes; i++)
if(!visited[i])<span style="white-space:pre">			</span>//对没访问过得元素调用DFS
4000
DFS(G,i);

}

void DFS(M<span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;">Graph</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> g,int i</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">){</span>

int j;

<pre name="code" class="cpp">    visited[i]=TRUE;<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    //先设置为true</span>

<pre name="code" class="cpp"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> print(g.vexs[i]);</span>

<pre name="code" class="cpp"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">for(j=0;j<g.numVertexes; j++)</span>

<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">if(g.arc[i][j] == 1 && !=visited[j])</span>

<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">    </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> DFS(G,j);</span>

}

2.广度优先遍历：

如下图，首先遍历A，A有两个连接点B,F，然后B出栈，通过B找到C，I，G。F找到的是G，E 因为G存在了所以这里不存，弹出C通过C找到D，然后通过弹出I，但是与I相邻的已经遍历过了，那就不存，然后弹出G找到H，然后弹出E找不到相邻的。最后弹出D,H 整个过程完毕。 如下图出队列入队列。



最小生成树：就是利用最小的成本链接全部节点，就是N个节点，N-1条边把一个连通图连起来。并且使权值的和最小。



如上图7-6-2的三个方案。他们的权值相加，证明第三个是最优的。 相关的有两种算法，普利姆算法、克鲁斯卡尔算法

下面是算法内容，暂时没什么思路构思了之后写

拓扑排序

关键路径