数据结构之栈（三）

前面两篇文章介绍了Stack的结构、基本操作和两种实现方式，本文将探讨Stack的应用。Stack的最常见的应用是缓存和处理优先级，Queue也可以用于缓存和处理优先级，但两者的优先级处理方式不同。本文将以“算术表达式”的处理为例，展示Stack的魅力。

一、Arithmetic Expression（点击打开链接）

数学中的算术表达式一般是这样的：

（5 + 9）× 2 + 6 × 5

这种表达式的特点是：运算符（opreator）位于算子（operand）中间。因此，它也被称为“infix expresion”。对于人来说，只要有运算符优先级的概念，就很容易理解“infix expression”；而对于计算机来说，它是一个字符一个字符来处理这个“表达式字符串”的，它没有优先级的概念（或者说给它建立优先级的概念，程序会更复杂），不太容易能处理这种表达式。

波兰逻辑学家Jan Lukasiewicz引入了“prefix expresiion”，克服了“infix expression”需要考虑“运算符优先级”和“parenthese”的缺点。“prefix expression”如下：

+ × + 5 9 2 × 6 5

这种“prefix expression”在没有“parenthese”的情况下，完全没有歧义。但是，它对人来说比较难以理解。因此，有人通过添加“parenthese”的方法，让它更容易理解。（事实上，三种算术表达式都可以通过添加“parenthese”来辅助执行顺序的理解，点击打开链接）。

+(×(+(5,9),2),×(6,5))

注：添加圆括号用于辅助理解算术执行的顺序。转换成C++函数表示为：

operator+(operator*(operator+(5,9),2),operator*(6,5)) ;

除了“prefix expresiion”，还有一种“postfix expresiion”，它的运算符在算子后面。如下：

5 9 + 2 × 6 5 × +

二、“Ealuation Postfix Expresiions”（点击打开链接）

借助Stack计算机程序可以很容易处理“postfix
expresiion”。程序从左到右按如下规则逐个处理各个“component”（成份）：

1）如果表达式的下一个成份是算子，则进栈；

2）如果表达式的下一个成份是算符，则它需要的算子从栈中取出（支持一元算符和二元算符），运算完毕，再将结果入栈。



上图演示了后缀表达式的处理过程。

void RPNCalculator(Stack & stack)
{
char c;
while (cin >> c, !cin.eof())    // eof -- end of file
{
if (std::isdigit(c))
stack.Push(*new Int(c - '0'));
else if (c == '+')
{
Int & arg2 = dynamic_cast<Int&>(stack.Pop());
Int & arg1 = dynamic_cast<Int&>(stack.Pop());
stack.Push(*new Int(arg1 + arg2));
delete &arg1;
delete &arg2;
}
else if (c == '*')
{
Int & arg2 = dynamic_cast<Int&>(stack.Pop());
Int & arg1 = dynamic_cast<Int&>(stack.Pop());
stack.Push(*new Int(arg1 * arg2));
delete &arg1;
delete &arg2;
}
else if (c == '=')
{
Int & arg = dynamic_cast<Int&>(stack.Pop());
cout << arg << endl;
delete &arg;
}
}
}

上面的函数可以计算后缀表达式（仅限10以内正整数），测试代码如下：

int main()
{
StackAsLinkedList stack;
RPNCalculator(stack);

return 0;
}

三、后缀表达式计算扩展

下面展示一个扩展的后缀表达式计算函数，它支持double型数据和负数，同时增加乘方运算和取反运算。

void RPNCalculator(Stack & stack)
{
string s;
do
{
getline(cin, s);    // 使用类似QSttring与QStringList的split()函数，可以录入一行表达式，各元素（operand或Operator）用空格分离
if (s.length() == 0)
continue;

if (s.length() == 1)
{
char c = s[0];
if (std::isdigit(c))
stack.Push(*new Double(c - '0'));
else if (c == '+')
{
Double & arg2 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
Double & arg1 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
stack.Push(*new Double(arg1 + arg2));
delete &arg1;
delete &arg2;
}
else if (c == '-')
{
Double & arg2 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
Double & arg1 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
stack.Push(*new Double(arg1 - arg2));
delete &arg1;
delete &arg2;
}
else if (c == '*')
{
Double & arg2 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
Double & arg1 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
stack.Push(*new Double(arg1 * arg2));
delete &arg1;
delete &arg2;
}
else if (c == '/')
{
Double & arg2 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
Double & arg1 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
stack.Push(*new Double(arg1 / arg2));
delete &arg1;
delete &arg2;
}
else if (c == '^')
{
Double & arg2 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
Double & arg1 = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
stack.Push(*new Double(std::pow(arg1, arg2)));
delete &arg1;
delete &arg2;
}
else if (c == '!')
{
Double & arg = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
stack.Push(*new Double(-arg));
delete &arg;
}
else if (c == '=')
{
Double & arg = dynamic_cast<Double&>(stack.Pop());
cout << arg << endl;
delete &arg;
}
}
else
{
double operand;    //double operand = atof(str); //for C Language
stringstream ss;
ss << s;
ss >> operand;
stack.Push(*new Double(operand));
}

} while (!cin.eof());
}

注：C++11的 <cstdlib>中也提供了“atof函数”。