hdu 1003 :Max Sum

初来乍到，动态规划也是刚刚接触。刚开始用暴力法，Time limit……
在网上搜了代码。大多是只说是动态规划经典问题、求最大子序列和，然后就是一串代码。最好的就是带了几行注释…没有太多通俗的解释…硬着头皮看了一晚上，终于算是有了眉目想通了。
在这里写下自己对这个动态规划求最大子序列和的理解，通俗一点的解释。（只是个人的理解哦，仅供参考）
这里的求最大子序列和应该是变种了吧，呵呵，还要加上最大子序列的起始和终止位置……只要知道怎么求最大子序列和，那么附加个位置应该不难的。
先来看代码：

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
int lines,n,temp,pos1,pos2,tempPos;
int now, max;
cin >> lines;
for (int i = 0; i < lines;++i)
{
cin >> n >> temp;	//n为当前行元素个数，temp为第一个数
now = max = temp;
pos1 = pos2 = tempPos=1;
for (int j = 2; j <= n; ++j)
{
cin >> temp;
if (now + temp >temp)
{
now += temp;
}
else               //now+temp <=temp  //说明新读进的数比之前存储的最大子序和还大
{
now = temp;
tempPos = j;
}
if (now > max)
{
max = now;
pos1 = tempPos;
pos2 = j;
}
}
cout << "Case : " << i+1 << endl;
cout << max << " " << pos1 << " " << pos2 << " " << endl;
}
}

本想用通俗的话语来解释这个道理，结果发现，通俗了以后就非文字所能描述的好的了，需要各种的手势+纸笔画一阵子，无奈表达能力有限，只好……只好用这样的看似非常严密的数学推理来说明了

对于整个序列a
来说，它的所有子序列有很多很多，但是可以将它们归类。
注意，是以**结尾的子序列，其中肯定是要包含**的了

以a[0]结尾的子序列只有a[0]
以a[1]结尾的子序列有a[0]a[1]和a[1]
以a[2]结尾的子序列有a[0]a[1]a[2] / a[1]a[2] / a[2]
……
以a[i]结尾的子序列有a[0]a[1]……a[i-2]a[i-1]a[i] / a[1]a[2]……a[i-2]a[i-1]a[i] / a[2]a[3]……a[i-2]a[i-1]a[i] /…… / a[i-1]a[i] / a[i]

所有以a[0] ~a
结尾的子序列分组构成了整个序列的所有子序列。

这样，我们只需求以a[0]~a
结尾的这些分组的子序列中的每一分组的最大子序列和。然后从n个分组最大子序列和中选出整个序列的最大子序列和。

观察可以发现，0，1，2，……，n结尾的分组中，
maxsum a[0] = a[0]
maxsum a[1] = max( a[0] + a[1] ，a[1]) = max( maxsum a[0] + a[1] ，a[1])
maxsum a[2] = max( max ( a[0] +a[1] + a[2]，a[1]+ a[2] )，a[2])
= max( max( a[0] + a[1] ，a[1]) +a[2] ，a[2])
= max( maxsum a[1] + a[2] ， a[2])
……
依此类推，可以得出通用的式子。
maxsum a[i] = max（ maxsum a[i-1]+ a[i]，a[i])

用递归……当然，不递归也应该是可以解决的。
我们从maxsum a[0]开始算起。
以后的每个就是 maxsum a[i-1] + a[i] 和 a[i] 中取大的那个。

程序中判断 前一个的最大子序列和小于零时，将其置为0，然后再加a[i] ，这样不就是和a[i] 一样大的么；前一个的最大子序列和只要大于零，那么再加上a[i] 肯定比 a[i] 要大，这样，带有归零的这个 maxsum a[i-1] + a[i] 就是以表示当前位置结束的子序列的最大和了。

剩下的就是要判断起始和终点位置了。

在循环的过程中，每循环一次就算出一个以当前位置结束的最大子序列和。每次循环中最大的那个保存下来，不就是最终所有最大子序列和中的最大值了么。

其中temp保存的是前一个位置的最大子序列和的开始位置（题目中是从1开始的哦）；当 sum > maxsum 时（程序中的条件，与说明时的maxsum不太一样哦）就记录最大值，并保持它的开始位置为temp，终止位置即为当前位置（i +1是因为题目中第一个为1，而不是0）；
当最大子序列和小于0时，将temp = i + 2； 其中 i + 1 表示当前位置（理由如上），i + 2就表示当前位置的下一个位置了。既此最大子序列和为负值，那么下一个的最大子序列和应该是它本身，而不再累加前边的。
程序中就两个if 语句，想要说明白还真不容易。
还有，有人会问，当整个序列全是负数时，还对吗？负数也是成立的，如果全是负数的时候，它就是每次都只取当前值作为最大值了，因为负的跟负的不就越加越小了吗。
因为题目中给出的范围是-1000 ～1000，所以这里初始的maxsum 初始化为-1001 ，只有比所有可能的值都小时才行。maxsum初始化为0；那么当序列全是负数时，得出的最大值将是0……这就wrong了

总之，只要上一个子序列最大和为正，那么无论当前值的正负，都会与当前的相加，这样以当前值结尾的子序列最大和就会增大。（一个正数加一个 正数2
或者负数 那么都会比这个正数2 或负数原来要增大，同理，一个负数加任何一个数，都会使这个数减小，因此当前一子序列最大和小于零时，我们就归零它了，相当于是不加任何数，而保留当前位置值本身）

原文地址：

HDU1003：MaxSum