算法导论学习笔记 一 分治算法

分治策略是一种常见的算法。在分治策略中，我们递归的求解一个问题，在每层递归中应用如下三个步骤： 1. 分解，将问题分解成规模更小但解决方案相同的子问题 2. 解决，递归的求解子问题，如果子问题足够小则停止递归，直接求解 3. 合并，将子问题的解组合成原问题的解

最大字数组问题

给你一段股市的波动图，找到在什么时候买入，什么时候卖出能获得最大的收益。

暴力破解法

我们很容易的想到一个包里破解法，就是把所有买入，卖出的组合列举出来进行对比，n天中取任意两天作为买入日和卖出日，共有n*(n-1)/2种解法，因此这种解法的时间复杂度是O(n^2）。

问题变换

为了方便我们处理，我们把每个数组的值变为股票的净增量。这个时候，最佳解法就变成了求一个数组的最大字数组：

使用分治策略的求解法

我们可以认为，我们要寻找子数组array[start,end]的最大字数组分三种情况：

最大字数组在左半部分

最大字数组在右半部分

最大字数组起点在左半部分，终点在右半部分

对于前两种情况，我们的求解方式和分解前是相同的，我们需要单独处理第三种情况。

如图：



那么我们给出解这个问题的思路：

FindMaxCrossingSubArray(array,start,end)
mid=(start+end)/2
从mid开始向左找，找到以mid为终点的最大字数组为array[max-left,min]
从mid开始向右找，找到以mid为起点的最大字数组array[min,max-right]
跨越mid的最大字数组为array[max-left,max-right]
max-leftchild =FindMaxCrossingSubArray(array,start,mid)
max-rightchild =FindMaxCrossingSubArray(array,min,end)
return max-leftchild,max-rightchild,array[max-left,max-right] 3个中的最大字数组

分治算法分析

这种方法我们需要遍历的次数会比n^2少一些，时间复杂度为O(nlgn)

代码实现

public int[] FindRecrusive(int[] array, int low, int high)
{
Console.WriteLine("low {0}, high {1}", low, high);

if (low == high)
{
return new[] { low, high, array[low] };
}
int mid = (low + high) / 2;

int leftmaxsum = int.MinValue;
int currentleftsum = 0;
int leftmaxlocation = mid;

for (int i = mid; i >= low; i--)
{
currentleftsum += array[i];
if (currentleftsum > leftmaxsum)
{
leftmaxsum = currentleftsum;
leftmaxlocation = i;
}
}

int rightmaxsum = 0;
int currentrightsum = 0;
int rightmaxlocation = mid;

for (int j = mid + 1; j <= high; j++)
{
currentrightsum += array[j];
if (currentrightsum > rightmaxsum)
{
rightmaxsum = currentrightsum;
rightmaxlocation = j;
}
}

int[] result = new[] { leftmaxlocation, rightmaxlocation, leftmaxsum + rightmaxsum };

int[] leftresult = FindRecrusive(array, 0, mid);

if (leftresult[2] > result[2])
{
result = leftresult;
}

int[] rightresult = FindRecrusive(array, mid + 1, high);
if (rightresult[2] > result[2])
{
result = rightresult;
}

return result;
}

　　

自己尝试用C#实现了下，托管在了github上