矩阵的向量化及内积

定义1. 设矩阵A=(aij)∈Rm×nA=(a_{ij})\in R ^{m\times n}，把矩阵AA的元素按行的顺序排列成一个列向量：

vecA=(a11,a12,⋯,a1n,a21,a22,⋯,a2n,⋯,am1,am2,⋯,amn)TvecA = (a_{11},a_{12},\cdots, a_{1n}, a_{21},a_{22},\cdots, a_{2n}, \cdots, a_{m1},a_{m2},\cdots, a_{mn})^T

则称向量vecAvecA为矩阵AA按行展开的列向量。

定义2. 设矩阵A=(aij)∈Rm×nA=(a_{ij})\in R ^{m\times n}，把矩阵AA的元素按行的顺序排列成一个列向量：

vecA=(a11,a21,⋯,an1,a12,a22,⋯,an2,⋯,a1m,a2m,⋯,anm)TvecA = (a_{11},a_{21},\cdots, a_{n1}, a_{12},a_{22},\cdots, a_{n2}, \cdots, a_{1m},a_{2m},\cdots, a_{nm})^T

则称向量vecAvecA为矩阵AA按列展开的列向量。

定义3. 设A,B∈Rn×nA, B \in R^{n\times n}，称

A∙B=⟨A,B⟩=Tr(ATB)=∑i=1n∑j=1naijbij=(vecA)TvecBA\bullet B = \langle A, B \rangle = Tr(A^T B) = \sum\limits^n_{i=1}\sum\limits^n_{j=1} a_{ij}b_{ij} = (vecA)^T vecB

为矩阵A,BA, B的内积。其中，Trace(A)Trace(A)为矩阵AA的迹，简记为Tr(A)Tr(A)。