4173: 数学 欧拉函数 思路题

好题。。

膜PoPoQQQ大爷

由于我太弱。。所以看题解的时候有很多地方想了一会儿才明白。

其实重点就是限定条件n%k+m%k≥k化简到这个式子⌊n+m/k⌋−⌊n/k⌋−⌊m/k⌋=1的理解。

首先化到⌊n+m/k⌋−⌊n/k⌋−⌊m/k⌋>=1是容易的，只要将取模换成整除然后同时除以k，如果没有下取整，即n+m/k−n/k−m/k是显然为0的，而如果带上取整，最特殊的情况是这样：不妨用p来表示模数，n=m=k*p+p-1,则⌊n/p⌋=⌊m/p⌋=k，而n+m=(2*k+1)*p+p-2,则⌊n+m/k⌋=2*k+1,也就是说⌊n+m/k⌋−⌊n/k⌋−⌊m/k⌋这个式子的取值只有0或1两种可能，因此就可以把>=化成=了。

∑n%k+m%k≥kφ(k)

=∑k=1..n+mφ(k)∗⌊n+m/k⌋−∑k=1..mφ(k)∗⌊n/k⌋−∑k=1..mφ(k)∗⌊m/k⌋

这一步化简其实就是如果⌊n+m/k⌋−⌊n/k⌋−⌊m/k⌋=1则计入答案φ(k)否则不会计入。

至于最后一步∑i=1..n ∑i=1..n ∑k|iφ(k)=∑k=1..nφ(k)∗⌊n/k⌋就比较简单了。

对于这种化公式的题还要多多练习呀。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
#define M 998244353
using namespace std;
ll n,m;
ll phi(ll n)
{
ll tmp=n,m=sqrt(n);
for (ll i=2;i<=m;i++)
if (n%i==0)
{
tmp-=tmp/i;
while (n%i==0) n/=i;
}
if (n>1) tmp-=tmp/n;
return tmp;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
cout << (phi(n)%M)*(phi(m)%M)%M*(n%M)%M*(m%M)%M << endl;
return 0;
}