静态区间第k大(归并树)
2016-02-15 12:05
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POJ 2104为例
建树过程和归并排序类似,每个数列都是子树序列的合并与排序。
查询过程,如果所查询区间完全包含在当前区间中,则直接返回当前区间内小于所求数的元素个数,否则递归的对子树进行求解并相加。
使用STL中的merge对子序列进行合并及排序。
时间复杂度O(nlogn+mlog3n)
数组实现的要比vector快很多。
归并树需要二分求解,但是划分树并不需要。因为划分树是从上到下,每次都用数组记录划分到左子树的元素个数,所以可以直接求得区间第k大数,而归并树是由下到上,每次对子树进行简单的合并和排序,并没有对划分到左子树的元素进行追踪,所以需要二分搜索答案,即线段树+二分。所以在求静态区间第k大时划分树也就比归并树要快。
思想:
利用归并排序的思想:建树过程和归并排序类似,每个数列都是子树序列的合并与排序。
查询过程,如果所查询区间完全包含在当前区间中,则直接返回当前区间内小于所求数的元素个数,否则递归的对子树进行求解并相加。
使用STL中的merge对子序列进行合并及排序。
时间复杂度O(nlogn+mlog3n)
代码(vector实现):
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<vector> #include<iostream> using namespace std;//[) const int maxn = 1000010; vector<int>dat[maxn*3]; int sorted[maxn], a[maxn]; void build(int k, int l, int r) { if(r - l == 1) dat[k].push_back(a[l]); else { int lch = 2 * k + 1, rch = 2 * k + 2; build(lch, l, (l + r)/2); build(rch, (l + r)/2, r); dat[k].resize(r - l); merge(dat[lch].begin(), dat[lch].end(), dat[rch].begin(), dat[rch].end(),dat[k].begin()); } } int query(int l, int r, int x, int k, int L, int R) { if(r <= L|| l >= R) return 0;//不相交 else if(l <= L && R <= r){//完全包含 return lower_bound(dat[k].begin(), dat[k].end(), x) - dat[k].begin(); } else { int lch = 2 * k + 1, rch = 2 * k + 2; int lsum = query(l, r, x, lch, L, (L + R)/2); int rsum = query(l, r, x, rch, (L + R)/2, R); return lsum + rsum; } } int main (void) { int n, m;scanf("%d%d",&n,&m); for(int i = 0; i < n; i++){ scanf("%d",&a[i]); sorted[i] = a[i]; } sort(sorted, sorted+n); build(0, 0, n); int tl, tr, k; while(m--){ scanf("%d%d%d",&tl,&tr,&k); int l = 0, r = n; while(r - l >1){ int mid = l + (r - l)/2; int c = query(tl-1, tr, sorted[mid], 0, 0 ,n); if(c <= k - 1 ) l = mid; else r = mid; } printf("%d\n", sorted[l]); } return 0; }//6000+ms
代码(数组实现):
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<vector> #include<iostream> using namespace std;//[) const int maxn = 1000010; int dat[20][3*maxn]; int sorted[maxn], a[maxn]; void build(int p, int l, int r) { if(r - l == 1) dat[p][l] = a[l]; else { build(p+1, l, (l + r)/2); build(p+1, (l + r)/2, r); merge(dat[p+1] + l, dat[p+1] + (l + r)/2, dat[p+1] + (l + r)/2, dat[p+1] + r, dat[p]+l); } } int query(int l, int r, int x, int p, int L, int R) { if(r <= L|| l >= R) return 0;//不相交 else if(l <= L && R <= r){//完全包含 return lower_bound(dat[p]+L, dat[p]+R, x) - (dat[p]+L); } else { int lsum = query(l, r, x, p+1, L, (L + R)/2); int rsum = query(l, r, x, p+1, (L + R)/2, R); return lsum + rsum; } } int main (void) { int n, m;scanf("%d%d",&n,&m); for(int i = 0; i < n; i++){ scanf("%d",&a[i]); sorted[i] = a[i]; } sort(sorted, sorted+n); build(0, 0, n); int tl, tr, k; while(m--){ scanf("%d%d%d",&tl,&tr,&k); int l = 0, r = n; while(r - l >1){ int mid = l + (r - l)/2; int c = query(tl-1, tr, sorted[mid], 0, 0 ,n); if(c <= k - 1 ) l = mid; else r = mid; } printf("%d\n", sorted[l]); } return 0; }//2000+ms
数组实现的要比vector快很多。
归并树需要二分求解,但是划分树并不需要。因为划分树是从上到下,每次都用数组记录划分到左子树的元素个数,所以可以直接求得区间第k大数,而归并树是由下到上,每次对子树进行简单的合并和排序,并没有对划分到左子树的元素进行追踪,所以需要二分搜索答案,即线段树+二分。所以在求静态区间第k大时划分树也就比归并树要快。
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