[I0A]查找最大子串问题的求解

Question:

假如你能够预知股票未来几天的动向，请你选择合适的买入和售出 日期 以便获得最大的利益值？

如下为股票未来几天的变动情况：



Result:

最优解为第 7 天买入，第11天卖出 获得最大单元利益为 43.

Analysis:

对于这个问题的求解我们当然可以用传统的排列组合方法来求解，即从以上任意天数中选择两天来进行计算

比如 选择day 3 和 day 9 101- 85 = 16 单元利益为16

所有的排列组合为 N*(N-1) / 2 时间复杂度为O(n^2)

然而此题依然可以有更效率的方式求解出结果，最终时间复杂度为O(n lg n).

如表格第三栏 change行，我们知道 要活得最大利益 即要求 第三行中 的 求得 最大子串 即 18 + 20 -7 +12 = 43

所以该问题转化为求解 最大子串问题.

How:

如何求解最大子串问题？这里我们仅使用 分治法(Divide and Conquer)求解

分治法分为三个步骤：Divide,Conquer,Combine.

Divide 将一个大的问题划分成若干个小的同类型的问题

Conquer 对划分后的小问题进行求解

Combine 将求解后的小问题结果合并 得出最后大问题的结果

显然 如果要将这一长串数列 求出最大子串 将这长子列化分成若干个子列 然后对子列进行求解 然后将结果合并.



我们将数列分成两个子串 即A[beg] ~ A[mid] 和 A[mid+1] ~ A[end] 两个部分

假设最大子串 出现在这两个部分，我们只要求解被划分后的两个子串



所以应该分为三部分

1.beg<= i <= j <= mid

2.mid+1<= i <= j <= end

3.beg <= i <= mid < j <= end

首先我们针对于分界处来进行计算

result find_max_crossing_subarrary(int* arr,int beg,int mid,int end){
int left_sum =  INT_MIN,right_sum =  INT_MIN;
int left_index,right_index;
int sum = 0;
int i;
for(i = mid;i >= beg; i--){
sum = sum + arr[i];
if(sum > left_sum) {
left_sum = sum;
left_index = i;
}
}
sum = 0;
for(i = mid+1;i <= end;i++){
sum = sum + arr[i];
if(sum > right_sum) {
right_sum = sum;
right_index = i;
}
}
result res = {left_index,right_index,left_sum + right_sum};
return res;
}

首先计算分界点左部分子串最大值，同时保存子串最大值时的标号index

然后计算分界点右边子串最大值，同时保存子串最大值时的标号

然后返回左右部分合并后的子串最大值

整个流程思路为计算左子串最大值，然后再计算右边子串最大值，然后从中间向两边计算交界处子串最大值 如下图所示



附上源代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>

typedef struct {
int beg;
int end;
int sum;
} result;

void
arr_print(int *arr,int len);

int*
arr_convertor(char **argv,int *len);

int*
max_difference_arr(int *arr,int len);

result
find_max_crossing_subarrary(int* arr,int beg,int mid,int end);

result
find_max_subarrary(int *arr,int beg,int end);

/*
day	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
p 	100	113	110	85	105	102	86	63	81	101	94	106	101	79	94	90	97
c 	0	13	-3	-25	20	-3	-16	-23	18	20	-7	12	-5	-22	15	-4	7
*/
int main(int argc,char **argv){
int len;
int *arr = arr_convertor(argv,&len);
if(len < 2) {
printf("arguments must more than 2.\n");
return 0;
}
arr_print(arr,len);
int *dif_arr = max_difference_arr(arr,len);
arr_print(dif_arr,len-1);
result res = find_max_subarrary(dif_arr,0,len-2);
printf("max subarray begins at:%d ends at:%d.\n",res.beg,res.end+1);
printf("and the max sum of the subarray is %d.\n",res.sum);
printf("the max array is:");
int i = 0;
for(i = res.beg;i <= res.end+1;i++) {
printf("%4d",arr[i]);
}
free(arr);
free(dif_arr);
return 0;
}

result find_max_subarrary(int *arr,int beg,int end){

if(beg == end) {
result res = {beg,end,arr[beg]};
return res;
}
int mid = (beg + end)/2;
result left_res = find_max_subarrary(arr,beg,mid);
result right_res = find_max_subarrary(arr,mid+1,end);
result cross_res = find_max_crossing_subarrary(arr,beg,mid,end);
if(left_res.sum >= right_res.sum && left_res.sum > cross_res.sum)
return left_res;
else if (right_res.sum >= left_res.sum && right_res.sum >= cross_res.sum)
return right_res;
else return cross_res;

}

result find_max_crossing_subarrary(int* arr,int beg,int mid,int end){
int left_sum =  INT_MIN,right_sum =  INT_MIN;
int left_index,right_index;
int sum = 0;
int i;
for(i = mid;i >= beg; i--){
sum = sum + arr[i];
if(sum > left_sum) {
left_sum = sum;
left_index = i;
}
}
sum = 0;
for(i = mid+1;i <= end;i++){
sum = sum + arr[i];
if(sum > right_sum) {
right_sum = sum;
right_index = i;
}
}
result res = {left_index,right_index,left_sum + right_sum};
return res;
}

int* max_difference_arr(int *arr,int len){
int* dif_arr = malloc(sizeof(int) * (len-1));
int i;
for(i = 0; i <len-1;i++){
dif_arr[i] = arr[i+1] - arr[i];
}
return dif_arr;
}

int* arr_convertor(char **argv,int *len){
int i;
char **ptr = argv;
int tmp[100];
while (*++ptr != NULL) {
tmp[i++] = atoi(*ptr);
}
*len = i;
int *parr = malloc(sizeof(int)*i);
for (i = 0; i < *len; i++) {
parr[i] = tmp[i];
}
return parr;
}

void arr_print(int *arr,int len){
int i;
for(i = 0;i < len;i++) printf("%4d",arr[i]);
printf("\n");
}

测试结果如下图: