01背包的学习
2016-02-12 15:08
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问题描述:
有 n 个重量和价值分别为 w[i], v[i] 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 W 的物品, 所求有挑选方案中价值中价值总和的最大值。
(限制条件:1 <= n <= 100, 1 <= w[i], v[i] <= 100, 1 <= W <= 10000)
输入:
4 5 (n, W)
2 3 (w[i], v[i])
1 2
3 4
2 2
输出:
7
每一件物品有两种结果:放入或是不放入背包。于是可以用搜索来解决。
但是这样会产生高度为 n 这样大的递归树,在限制的时间内会无法完成。看一下这样产生的树:
这样的搜索会有重复调用,造成时间和空间上的浪费。
对于这种情况,可以采用动态规划的方式解决。(动态规划:把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,利用各阶段之间的关系,逐个求解)
从第i个物品开始挑选总重小于j时,总价值的最大值,其递推式:
dp
[j] = 0;
j < w[i] :
dp[i][j] = dp[i+1][j]
其他:
dp[i][j] = max( dp[ i+1 ][j] , dp[ i+1 ][ j-w[i] ] + v[i]
有 n 个重量和价值分别为 w[i], v[i] 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 W 的物品, 所求有挑选方案中价值中价值总和的最大值。
(限制条件:1 <= n <= 100, 1 <= w[i], v[i] <= 100, 1 <= W <= 10000)
输入:
4 5 (n, W)
2 3 (w[i], v[i])
1 2
3 4
2 2
输出:
7
每一件物品有两种结果:放入或是不放入背包。于是可以用搜索来解决。
但是这样会产生高度为 n 这样大的递归树,在限制的时间内会无法完成。看一下这样产生的树:
这样的搜索会有重复调用,造成时间和空间上的浪费。
对于这种情况,可以采用动态规划的方式解决。(动态规划:把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,利用各阶段之间的关系,逐个求解)
从第i个物品开始挑选总重小于j时,总价值的最大值,其递推式:
dp
[j] = 0;
j < w[i] :
dp[i][j] = dp[i+1][j]
其他:
dp[i][j] = max( dp[ i+1 ][j] , dp[ i+1 ][ j-w[i] ] + v[i]
void fun() { for (int i = n-1; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j <= W; j++) { if (j < w[i]) dp[i][j] = dp[i+1][j]; else dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j-w[i]] + v[i]); } } printf("%d\n", dp[0][W]); }参考书籍 :《挑战程序设计竞赛》
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