斐波那契数列的应用

[code]    斐波那契以兔子繁殖为切入，提出一个古典问题： 有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？ 
    其数列是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 
    在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义： F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

    我刚好前几天看到google的一个面试题，题目是这样的：
    假设你正在爬M阶楼梯，每次你只能爬一阶或者两阶，你能有多少种不同的方法爬到楼顶部？ 
    其实，这完全可以运用到斐波那契数列。
    以A(M)表示M阶阶梯所需要的step。
    那么快爬完楼梯的时候，最后一步无非两种情况，一种：只需要迈一阶即可。另一种：只需要迈两阶即可爬完楼梯。
 于是A(M)=A(M-1)+A(M-2)
    A(M-1)=A(M-2)+A(M-3)
    A(M-2)=A(M-3)+A(M-4) 
    ………
    而当M=1时 A(1)=1 M=2时 A(2)=2
    这样便可以递归出A(3),A(4)……直到A(M)
    符合斐波那契数列特点：F(n)=F(n-1)+F(n-2)
    此题便解出。

    爬楼梯问题的推广：
    特例： 那么如果步子不仅仅是一阶或者二阶，假设一步至多迈M阶，
    则 A(M)=A(M-1)+A(M-2)+…..+A(1)+A(0)
     A(0)表示之前没迈一步，之后一步迈完M阶
     A(0)=1;A(1)=1,A(2)=2;
     递推得： A(3)=A(2)+A(1)+A(0) =4
             A(4)=A(3)+A(2)+A(1)+A(0) =8
             A(5)=A(4)+A(3)+A(2)+A(1)+A(0) =16
             …
         得A(M)=2^(M-1);

      推广： M阶楼梯，假设一步迈N阶
       当（1《N《M） 即一步至多M阶，同特例 由特列知 A(M)=2^(M-1);
       当（1《N<M）  即一步至多N阶 
       A(M)=A(M-1)+A(M-2)+…..+A(M-N)         
       递归可得A(M)