算法导论例程——哈希表

哈希表（hash table）是普通数组概念的推广，对于一个比较小的规模的数据，我们对其存储采用的是将其存在一个等规模的数组中，并且直接根据数组下标对其进行寻址，这被称为直接寻址法。

而当数据规模增大到一定程度时，我们采用直接寻址法进行遍历时会打打加重程序的时间复杂度，而一种理想的解决办法就是根据数据的某一关键字（这里假设数据元素含有其他卫星数据，这在实际问题中是很常见的）动态的分配存储空间，将数据所需的存储空间大小降低下来，这里我们需要的算法成为哈希算法h(key)，一般认为他的结果为自然数，映射为数组的下标，也即哈希表槽的位置。

那么接下来的问题就是——如何选择一个合理的哈希算法，是数据尽量均衡合理地分布，不发生冲突（collision）。

这里介绍三种哈希算法。

除法哈希法

h(k) = k mod 701，指的是关键字对槽数m取模，得到一个较为均衡的排布在槽数内的哈希值，这里槽数的选择不建议选择2的整数次幂，会造成数据一定程度上的分布不均。

乘法哈希法

h(k) = m * (k * A mod !)，指的是关键字乘以一个常数A（0 < A < 1），取小数部分乘以槽数。

全域法

全域法会综合以上各种函数的特点，就像快速排序算法采用随机数确定一个分界值，保证最坏情况不会总是发生，这里全域法在接收到一个关键字时，会随机的从设计好的哈希算法中挑选一个出来，使遇到两个不同的关键字k，l时，h(k) == h(l)的概率不超过1/m（从m个槽中随机选一个的概率）。

然而无论是哪种算法都无可避免的会遇到冲突问题，接下来两种解决冲突问题的方法。

链接法

很简单，就是将被哈希到一个槽中的数据都存储在一个链表中，双向链表提高效率，将链表的头指针放在槽中。

开放寻址法

首先引进装载因子的概念，a = n /m，即每个槽中平均含有的数据数。

这种方法指的是每一个数据都放在哈希表的表项中，即每一个槽中要么有一个元素，要么为NIL，当查找某个元素时，要系统的检查所有表项，直到找到需要的元素，或最终查明该元素不再表中。

int hash_insert(int T[], int key)
{
int i = 0;
do
{
int j = hash(key, i);
if (T[j] == NIL)
T[j] = key;
return j;
else
i++;
} while (i <= m);
return -1;                     //overflow
}

这里哈希算法接受参数i，使之成为一个二元映射，通过i的调节使其遍历整个哈希表来寻找空槽。类比可以写出删除数据的函数。

完全哈希法

在链接法中将哈希到同一个槽中的数据存储在链表中，而完全哈希顾名思义则是将他们再存放在一个哈希表（第二级哈希）中，这样借助哈希表的探查算法，也许会获得比搜索链表更高的效率。

最后当然是对哈希表的寻址，也叫探查（probe）方法了。

线性探查

给定一个简单的哈希算法h'(k)，该探查采用的函数为h(k,i) = (h'(k) + i) mod m添加了随机性，但是随着被占用槽数的增加会出现一次群集现象。

二次探查

h(k,i) = (h'(k) + c1 * i + c2 * i ^ 2)，这里引进了i的二次项，使后续的探查位置多一个偏移量，降低了一次群集，但是可能会导致另一种轻度的群集——二次群集，且受限于哈希表的大小，c1 c2的大小受到限制。

双重哈希

双重哈希是用于开放寻址法最好的探查方法之一，它需要两个基础的哈希函数h1,h2，h(k,i) = (h1(k) + i * h2(k)) mod m，这里偏移量不会像之前那两种方法显得“有迹可循”，它产生的排列具有随机选择排列的许多特性。