kruskal算法

1.算法思想

先构造一个只含n个顶点而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集E中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。

时间复杂度O（e²），使用并查集优化后复杂度为O（eloge），与网中的边数有关，适用于求边稀疏的最小生成树。

2.算法实现步骤

设图G的度为G=（V，E），设该图的最小生成树为T=（V，TE），设置边的集合TE的初始状态为空集。将图G中的边按权值从小到大排好序，然后从小的依次开始选取，若选取的边使生成树T不形成回路，则把它并入TE中，保留作为T的一条边；若选取的边使生成树形成回路，则舍弃；如此继续进行，直到使TE中包含n-1条边为止。

3.算法的关键与优化

kruskal算法实现过程中的关键和难点在于：如何判断欲加入的一条边是否与生成树中已经保留的边形成回路？我们可以将顶点划分到不同的集合中，每个集合的顶点表示一个无回路的连通分量。初始时，我们把n个顶点划分到n个集合中，每个集合只有一个顶点，表明顶点之间互不相通。当选取一条边时，若它的两个顶点分属两个不同的集合，则表明此边连通了两个不同的连通分量，因每个连通分量无回路，所以连通后得到的连通分量仍无回路。因此，这条边应该保留，且合并成两个不同的连通分量。若选取的边的两个顶点属于同一个连通分量，则应舍弃，因为一个无回路的连通分量内加入一条新边必然产生回路。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1000
struct rqmap
{
int s,t,v;
};
rqmap map[MAXN*MAXN];
int father[MAXN],n,m,i,ingraph,ans;

int read()
{
int w=0,c=1;
char ch=getchar();
while (ch<'0' || ch>'9')
{
if (ch=='-')
c=-1;
ch=getchar();
}
while (ch>='0' && ch<='9')
{
w=w*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return w*c;
}

int find(int x)
{
if (father[x]==x)
return x;
father[x]=find(father[x]);
return father[x];
}

void union1(int a,int b)
{
father[find(a)]=find(father[b]);
}

bool cmp(const rqmap x,const rqmap y)
{
return x.v<y.v;
}

int main()
{
n=read();
m=read();
for (i=1;i<=n;i++)
father[i]=i;
for (i=1;i<=m;i++)
{
map[i].s=read();
map[i].t=read();
map[i].v=read();
}
sort(map+1,map+1+m,cmp);
ans=0;
ingraph=1;
i=0;
while (ingraph<n)
{
i++;
if (find(map[i].s)!=find(map[i].t))
{
ingraph++;
ans+=map[i].v;
union1(map[i].s,map[i].t);
}
}
printf("%d",ans);
return 0;
}