快速求幂取模

快速求幂取模

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二分求幂快速幂快速幂取模

2016-02-06 18:02
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ACM思想（10）

语言入门（18）


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公式求幂→二分求幂→快速求幂→快速求幂取模

等不急的可以直接下拉到最后看快速幂取模。

直接用C语言的库函数

pow()

（别忘了它的头文件

#include<math.h>

），似乎很简单，但是它的时间复杂度高达O(n)。

显然，这很容易超时。

于是有了下面的二分求幂（时间复杂度O(lgn)）

二分求幂的原理可以用下面这张图表示



用递归来实现，虽然代码有点长，但是很好理解

<code class="hljs mel has-numbering"><span class="hljs-keyword">int</span> <span class="hljs-keyword">pow</span>(<span class="hljs-keyword">int</span> a,<span class="hljs-keyword">int</span> n)<span class="hljs-comment">//返回值是a的n次方</span>
{
<span class="hljs-keyword">if</span>(n==<span class="hljs-number">0</span>)<span class="hljs-comment">//递归终止条件</span>
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-number">1</span>;
<span class="hljs-keyword">if</span>(n==<span class="hljs-number">1</span>)
<span class="hljs-keyword">return</span> a;
<span class="hljs-keyword">int</span> result=<span class="hljs-keyword">pow</span>(a,n/<span class="hljs-number">2</span>);<span class="hljs-comment">//二分递归</span>
result=result<span class="hljs-variable">*result</span>;<span class="hljs-comment">//这部分奇数偶数都一样</span>
<span class="hljs-keyword">if</span>(n<span class="hljs-variable">%2</span>==<span class="hljs-number">1</span>)<span class="hljs-comment">//如果n是奇数，就要多乘一次</span>
result=result<span class="hljs-variable">*a</span>;
<span class="hljs-keyword">return</span> result;
}</code><ul style="" class="pre-numbering"><li>1</li><li>2</li><li>3</li><li>4</li><li>5</li><li>6</li><li>7</li><li>8</li><li>9</li><li>10</li><li>11</li><li>12</li></ul>

用非递归，更加简洁

<code class="hljs mel has-numbering"><span class="hljs-keyword">int</span> <span class="hljs-keyword">pow</span>(<span class="hljs-keyword">int</span> a,<span class="hljs-keyword">int</span> n)<span class="hljs-comment">//返回值是a的n次方</span>
{
<span class="hljs-keyword">int</span> result=<span class="hljs-number">1</span>;
<span class="hljs-keyword">while</span>(n!=<span class="hljs-number">0</span>)
{
<span class="hljs-keyword">if</span>(n<span class="hljs-variable">%2</span>==<span class="hljs-number">1</span>)<span class="hljs-comment">//如果n是奇数</span>
result=result<span class="hljs-variable">*a</span>;<span class="hljs-comment">//就要多乘一次</span>
a=a<span class="hljs-variable">*a</span>;
n=n/<span class="hljs-number">2</span>;<span class="hljs-comment">//二分</span>
}
<span class="hljs-keyword">return</span> result;
}</code><ul style="" class="pre-numbering"><li>1</li><li>2</li><li>3</li><li>4</li><li>5</li><li>6</li><li>7</li><li>8</li><li>9</li><li>10</li><li>11</li><li>12</li></ul>

快速幂顾名思义比二分幂又快一些，

快速幂借助了强大的位运算，时间复杂度达到O(log₂N)。

位运算http://baike.baidu.com/view/379209.htm

原理其实不难理解，用的还是小学生的公式。

例如 求a的11次方

11的二进制是1011

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

因此，我们将a¹¹转化为算


用非递归的代码实现

<code class="hljs glsl has-numbering"><span class="hljs-keyword">int</span> <span class="hljs-built_in">pow</span>(<span class="hljs-keyword">int</span> a,<span class="hljs-keyword">int</span> n)<span class="hljs-comment">//返回值是a的n次方</span>
{
<span class="hljs-keyword">int</span> result=<span class="hljs-number">1</span>,flag=a;
<span class="hljs-keyword">while</span>(n!=<span class="hljs-number">0</span>)
{
<span class="hljs-keyword">if</span>(n&<span class="hljs-number">1</span>)<span class="hljs-comment">//如果n是奇数，即n的二进制最末位为1时</span>
result=result*flag;
flag=flag*flag;
n=n>><span class="hljs-number">1</span>;<span class="hljs-comment">//n的二进制右移一位，即n/2</span>
}
<span class="hljs-keyword">return</span> result;
}</code><ul style="" class="pre-numbering"><li>1</li><li>2</li><li>3</li><li>4</li><li>5</li><li>6</li><li>7</li><li>8</li><li>9</li><li>10</li><li>11</li><li>12</li></ul>

当然还能用递归来实现，但是太复杂，我没学会…

刷题中让直接求幂的不多，求幂后取模的却不少，毕竟求幂结果太大了。

水平所限，只会用二分幂取模，时间复杂度与二分幂一样O(lgn)。

基本可以在各种比赛中顺利通过，也是目前比较常用的方法

原理同样很简单，都是小学学过的：积的取余等于取余的积取余

接下来用代码实现

<code class="hljs mel has-numbering"><span class="hljs-keyword">int</span> <span class="hljs-keyword">pow</span>(<span class="hljs-keyword">int</span> a,<span class="hljs-keyword">int</span> n,<span class="hljs-keyword">int</span> b)<span class="hljs-comment">//返回值是a的n次方对b取余后的值</span>
{
<span class="hljs-keyword">int</span> result=<span class="hljs-number">1</span>;
a=a<span class="hljs-variable">%b</span>;<span class="hljs-comment">//积的取余等于取余的积取余</span>
<span class="hljs-keyword">while</span>(n><span class="hljs-number">0</span>)
{
<span class="hljs-keyword">if</span>(n<span class="hljs-variable">%2</span>==<span class="hljs-number">1</span>)
result=result<span class="hljs-variable">*a</span><span class="hljs-variable">%b</span>;<span class="hljs-comment">//n是奇数的话就要多乘一次，原理和前面的二分求幂一样</span>
n=n/<span class="hljs-number">2</span>;<span class="hljs-comment">//二分</span>
a=a<span class="hljs-variable">*a</span><span class="hljs-variable">%b</span>;<span class="hljs-comment">//积的取余等于取余的积取余</span>
}
<span class="hljs-keyword">return</span> result;
}</code><ul style="" class="pre-numbering"><li>1</li><li>2</li><li>3</li><li>4</li><li>5</li><li>6</li><li>7</li><li>8</li><li>9</li><li>10</li><li>11</li><li>12</li><li>13</li></ul>

影响计算机效率的是运算次数，而不是运算结果。

所以前面几个算法都是通过增大运算结果，减少运算次数，提高计算机效率。