AA树

http://blog.csdn.net/zhaojinjia/article/details/8121156

  在上一篇博客中写道红黑树的各种操作，但是它的各种操作，尤其是删除操作分类情况比较多且复杂，不容易编程实现。

        因此，Arne Andersson在93年时，在一篇“Balanced search trees made simple”就对这个RBT进行了改进。但是，现在好像应用不是很多。对于这方面介绍的资料也比较少。

       我写这篇文章就是想介绍一下AA树以及它的基本操作。

1、AA-Tree提出的原因：

      RBT编程实现比较繁琐，因为分情况考虑比较多且复杂，为了简化红黑树而提出来的。

2、AA-Tree的定义：

        1、AA-Tree是RB-Tree的一种变型，是红黑树

2、“红”结点只能作为结点的右孩子，“黑”结点均可；

3、结点中的level相当于RBT中的结点的黑高度；

4、“红”结点的level与其父结点的level相同；

5、“黑”结点的level比其父结点的level小1；

6、左孩子的level比父结点小1，右孩子的level比父结点小0或1；

注：level为1的结点不一定为叶子；

如下图所示：

3、AA-Tree的两个基本操作：

       AA-Tree在插入是也只能插入“红结点”，即只能水平方向插入；但是这时会出现2中禁止出现的情况。

       禁止出现的2中情况：

         1、出现连续向右的水平方向链，即在RB-Tree中不能出现连续2个红结点；

         2、出现向左的水平方向链，这是AA-Tree中规定的；

      如下图所示：插入25属于正常情况，但是插入2和45是不允许出现的。

      


     由于以上2种情况不允许出现，作者就提出AA-Tree的2个基本操作来解决上面不允许的情况。

    case1：出现连续向右的水平方向链：

         操作：左旋；

                     中间结点level加1.

      如下图所示：

      


     case2：出现向左的水平方向链：

          操作：右旋；

                      如果出现向左的水平方向链，再左旋。

       如下图所示：

      

4、AA-Tree的插入操作：

    上节说到，每次插入红结点；

     插入操作按照插入位置情况分类：

    


   

    1、当插入结点作为其父亲的左孩子

         操作：右旋；

                      如果出现连续水平向右的方向链，再左旋。

         举例：

               如下图所示： 插入  50

          




    2、当插入结点作为其父亲的右孩子，且插入结点的父亲和祖父的level相同

       操作：左旋

                   如果出现向左的水平链，再右旋

       举例：

         如下图所示，例如插入13 

         



    3、当插入结点作为其父亲的右孩子，且插入结点的父亲和祖父的level不同

       操作：直接插入即可

        举例：

          如下图所示：插入 95

         

5、AA-Tree的删除操作：

       删除操作按照后继结点是否为叶子进行分类

       






       case1、后继结点不是叶子

            
操作： 

后继结点的值赋给被删结点
             

                   后继结点右孩子的值赋给后继结点

                   删除后继的右孩子

         举例：

              如下图所示： 例如删除 30 ，实际上，是把40所在位置删除即可

            


            删除后效果图，如下所示：

           


       case2、后继结点是叶子

      操作：后继结点的值赋给被删结点；

               后继结点父亲的level减1；

               如果出现向左或连续向右的水平链，进行右旋或者左旋；

               删除后继结点。

           举例：

                如下图所示：例如删除 50 

                


               删除后效果图，如下所示：

                


         再如下图所示：删除 15

        

6、AA-Tree的性能分析比较

从实现角度看，AA-Tree减少了红黑树插入删除考虑的情况；

AA-Tree是BST，时间复杂度和RBT一样，即O(lgn)，但是旋转次数相对较多; 

7、参考文献

    http://blog.csdn.net/ljsspace/article/details/6547450； 

    http://user.it.uu.se/~arnea/abs/simp.html