陶哲轩实分析 3.1节 习题试解

陶哲轩实分析 3.1节 习题试解

3.1.1 证明集合相等的定义是自反、对称和传递的。

（1） 先证明自反性

所以

（2）对称性 若 则

因为 ，所以

所以

（3）传递性 则

因为 ，所以

因为 ，所以

所以

同理

所以

3.1.2 仅使用定义3.1.4 、定理 3.2、定理3.3 证明 以及 全是不同的

(1) 先证明 与其他几个集合不同

但是 所以

但是 所以

但是 所以

(2) 证明 与 以及 不同

但是 所以

但是 所以

(3) 证明

但是 所以

3.1.3 证明引理 3.1.13 中未证明的结论

（1） 证明集合的并集运算是交换的

都有 或 ，所以

都有 或 ，所以

所以

（2） 证明

都有

都有 因此

所以：

都有 或 ，有因为不存在任何对象 满足 ，所以

都有 ，所以

所以

同理

3.1.4 证明命题 3.1.18

(1) 如果 同时 则

表明

表明

所以

(2) 证明 同时 则

表明

表明

所以 ，也就是

还表明至少存在一个 满足

因为 ，所以

所以 同时

所以

因为 同时

所以

3.1.5 A 、B 是集合，证明三个命题 、、 是等价的

（1）证明

首先 ，因此只需证明

同时

所以 or

（2）证明

都有

至此，证明了 与 等价。

（3）证明

and

另外，显然

所以

（4）证明

都有

至此，证明了 与 等价。

因为 和 都与 等价。

所以 和 等价。

3.1.6 证明命题 3.1.28

(a) 证明 和

由并集定义有

都有 和

所以

所以

所以

由交集定义有

所以

所以

(b) 证明 和

显然 ，

只需证明 和

因为

因为 同时

所以

(c) 证明 和

显然

所以

所以

显然

所以

所以

(d) 证明 和

习题 3.1.3 已经证明

这里只证明

所以

所以

所以

所以

所以

(e) 证明 和

书中已经证明了 这里只证明

要同时满足 和

也就是要同时满足 、 和

也就是要同时满足 和

也就是要满足

所以

类似的，也可证明

所以

(f) 证明 和

先证明

要满足 和

同时 和 要至少满足一个。分成两种情况。

（1） 同时

（2） 同时 但是

所以

所以

或

当 时，

当 时，

所以

所以

所以

类似方法可以证明

(g) 证明 和

先证明

或者

所以

或者

所以

所以

再证明

反证法，假设 则至少存在一个 满足

对 分类讨论

（1） 推出矛盾。

（2） 推出矛盾。

所以

(h) 证明 和

先证明

同时

同时

所以

类似可证

所以

证明

或者

或者

所以

类似的

所以

3.1.7 证明方法类似，这里省略了

3.1.8 证明 和

先证明

显然

因此只需证明

所以

再证明

显然

只需证明

或者

其中

所以

所以

所以

3.1.9 证明

因为

所以

所以

所以

类似可证

3.1.10 证明 、、 是不交的。他们的并是

这里只证明他们的并是

3.1.11 证明替换公理蕴涵分类公理

设分类公理中的命题为

那么可以构造替换公理中的命题 为 当 为真且 时 为真。则这时替换公理获得的集合与分类公理获得的集合相同。