分治算法（一）

当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。这就是分治策略的基本思想。

1、引例：

如果给你一个装有16枚硬币的袋子，其中有一枚是伪造的，并且那枚伪造硬币的重量和真硬币的重量不同。你能不能用最少的比较次数找出这个伪造的硬币?为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用来比较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否相同。

常规的解决方法是先将这些硬币分成两枚一组，每一次只称一组硬币，如果运气好的话只要称1次就可以找到，最坏最多称8次才可以找出那枚硬币，这种直接寻找的方法存在着相当大的投机性，适用于硬币数量少的情况，在硬币数量多的情况下就成为一件费时费力又需要运气的事。

试着改变一下方法：如果我们将全部硬币分成两组，将原来设计的一次比较两枚硬币变为一次比较两组硬币，我们会发现通过一次比较后．完全可以舍弃全部是真币的一组硬币，选取与原有问题一致的另一半进行下一步的比较，这样问题的规模就明显缩小，而且每一次比较的规模都是成倍减少(如图4－1所示)。

var a:array[1..20]of integer;
n,i,m,x,y,k:integer;
begin
readln(n);
x:=1;y:=n;
for i:=1 to n do readln(a[i]);
readln(m);
repeat
k:=(x+y)div 2;
if a[k]=m then begin writeln('the num in ',k);halt;end
else begin
if a[k]<m then x:=k+1;
if a[k]>m then y:=k-1;
end;
until x>y;
writeln('No find');
end.

非递归法
【例2】一元三次方程求解

有形如：ax3 +bx2 +cx+d＝0这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（a，b，c，d 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100 至 100 之间），且根与根之差的绝对值≥1。 要求由小到大依次在同一行输出这三个实根（根与根之间留有空格），并精确到小数点后 2 位。

提示：记方程 f（x）=0，若存在 2 个数 x1 和 x2，且 x1<x2，f（x1）*f（x2）＜0，

则在（x1，x2）之间一定有一个根。

输入：

a，b，c，d

输出：

三个实根（根与根之间留有空格）

输入输出样例

输入： 1 -5 -4 20

输出： -2.00 2.00 5.00









【例3】循环比赛

【问题描述】 设有N个选手的循环比赛。其中N=2M，要求每名选手要与其他N-1名选手都赛一次。每名选手每天比赛一次，循环赛共进行N-1天．要求每天没有选手轮空。

输入：M

输出：表格形式的比赛安排表

【样例输入】

3

【样例输出】

1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 4 3 6 5 8 7

3 4 1 2 7 8 5 6

4 3 2 1 8 7 6 5

5 6 7 8 1 2 3 4

6 5 8 7 1 1 4 3

7 8 5 6 3 1 1 2

8 7 6 5 d 3 2 1

【问题分析】：此题很难直接给出结果，我们先将问题进行分解，n=2^m，将规模减半，如果m=3(即n=8),8名选手的比赛，减半后变成4名选手的比赛（n=4），4个选手的比赛的安排方式还不是很明显，再减半到两名选手队的比赛(n=2)，两名选手的比赛安排方式很简单，只要让两名选手直接进行一场比赛即可：

1	2
2	1

分析两个球队的比赛的情况不难发现，这是一个对称的方阵，我们把这个方阵分成4部分（即左上，右上，左下，右下），右上部分可由左上部分加1（即加n/2）得到，而右上与左下部分、左上与右下部分别相等。因此我们也可以把这个方阵看作是由n=1的方阵所成生的，同理可得n=4的方阵：

1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	1	2
4	3	2	1

同理可由n=4方阵生成n=8的方阵：

1	2	3	4	5	6	7	8
2	1	4	3	6	5	8	7
3	4	1	2	7	8	5	6
4	3	2	1	8	7	6	5
5	6	7	8	1	2	3	4
6	5	8	7	2	1	4	3
7	8	5	6	3	4	1	2
8	7	6	5	4	3	2	1

这样就构成了整个比赛的安排表。

在设计程序时，我们采用由小到大的方法进行扩展，而数组下标的处理是解决该问题的关键。用数组a记录2^m名选手的循环比赛表，整个循环比赛表从最初的1*1方阵按上述规则生成2*2的方阵，再生成4*4的方阵，……直到生成出整个循环比赛表为止。变量h表示当前方阵的大小,也就是要生成的下一个方阵的一半。

【参考程序】

program p4_1;
var
i,j,h,m,n:integer;
a:array[1..100,1..100]of integer;
begin
assign(input,'word.in');  reset(input);
assign(output,'word.out'); rewrite(output);
readln(m);
n:=1;a[1,1]:=1;h:=1;
for i:=1 to m do n:=n*2;
repeat
for i:=1 to h do
for j:=1 to h do begin
a[i,j+h]:=a[i,j]+h;{构造右上角方阵}
a[i+h,j]:=a[i,j+h];{构造左下角方阵}
a[i+h,j+h]:=a[i,j];{构造右下角方阵}
end;
h:=h*2;
until h=n;
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do write(a[i,j]:4); writeln;
end;
close(input);  close(output);
end.

[例4] 求方程的根

【问题描述】

输入m，n，p，a，b，求方程f(x)＝mx+nx-px＝0在[a,b]内的根。m，n，p，a，b均为整数，且a<b；m，n，p都大于等于1。如果有根，则输出，精确到1E-11；如果无方程根，则输出“NO”。

【样例】

equation.in

2 3 4 1 2

equation.out

1.5071265916E+00

2.9103830457E-11

【算法分析】

首先这是一个单调递增函数，对于一个单调递增(或递减)函数，如图4-7所示，判断在[a, b]范围内是否有解，解是多少。方法有多种，常用的一种方法叫“迭代法”，也就是“二分法”。先判断f(a)·f(b)≤0，如果满足则说明在[a, b]范围内有解，否则无解。如果有解再判断x＝(a+b)/2是不是解，如果是则输出解结束程序，否则我们采用二分法，将范围缩小到[a, x)或(x, b]，究竟在哪一半区间里有解，则要看是f(a)·f(x)<0还是f(x)·f(b)<0。



当然对于yx，我们需要用换底公式把它换成exp(x*ln(y))。

4、小结：

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有子结构性质

利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

第4条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。