密码学数学基础
2016-02-04 11:35
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密码学数学基础
群
定义
设<G,*>是代数系统,其中G是非空集合,在G中定义了一个二元运算*(即对G中任意a,b有G中唯一元素(记为a*b)与之对应),且满足如下规律: 1.封闭性。对任意a,b∈G,总有a*b∈G 2.结合律。a*(b*c)=(a*b)*c,(对任意的a,b,c∈G) 3.(恒元)存在e∈G,使得e*a=a(对任意的a∈G) 4.(逆元)对任意的a∈G,总存在b属于G,b*a=e
半群
<S,*>是一个代数系统,其中S是非空集合,*是S上的一个二元运算(运算*是封闭的),如果运算*是满足结合律的,则称<S,*>为半群。
幺半群
存在生成元的半群即为幺半群。
阿贝尔群(交换群)
它由自身的集合G和二元运算*构成。它除了满足一般的群公理,即运算的结合律、G有单位元、所有G的元素都有逆元之外,还满足交换律公理。因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律,群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。
环
定义
设<R,+,·>是代数系统,R为集合,+,·为二元运算,如果 (1)<R,+>为阿贝尔群, (2)<R,·>为半群, (3)乘法“·”对加法“+”适合分配率,即对任何a,b,c∈R,有 a·(b+c)=(a·b)+(a·c) (a+b)·c=(a·c)+(b·c) 则称<R,+,·>是环
剩余类环
剩余类集Zn={0,1,2,...,(n-1)},Zn中每个整数代表一个剩余类,有事也记为Zn={[0],[1],[2],...,[n-1]}。 运算定义: [a]+[b]=[a+b] [a]·[b]=[a·b]
零因子
元素a,b称零因子,如果a≠0,b≠0,但a·b=0。环中没有这样的元素,则说环中无零因子。
域
定义
若环<A,+,·>去掉0元的<A-[0],·>是交换群,则<A,+,·>为域。即: (1)<A,+>是交换群 (2)<A*,·>是交换群 (3)运算“·”对于运算“+”是可分配的
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