[Möbius]个人对Möbius反演的理解

Möbius反演的引入

设f(n)和g(n)是定义再正整数集合上的两个函数，并满足f(n)和g(n)是定义再正整数集合上的两个函数，并满足f(n)=∑d|ng(d)f(n)=\sum_{d|n}g(d)

我们发现

f(1)=g(1)f(1)=g(1)

f(2)=g(1)+g(2)f(2)=g(1)+g(2)

f(3)=g(1)+g(3)f(3)=g(1)+g(3)

f(4)=g(1)+g(2)+g(4)f(4)=g(1)+g(2)+g(4)

f(5)=g(1)+g(5)f(5)=g(1)+g(5)

f(6)=g(1)+g(2)+g(3)+g(6)f(6)=g(1)+g(2)+g(3)+g(6)

….

那么我们就有

g(1)=f(1)g(1)=f(1)

g(2)=f(2)−f(1)g(2)=f(2)-f(1)

g(3)=f(3)−f(1)g(3)=f(3)-f(1)

g(4)=f(4)−f(2)g(4)=f(4)-f(2)

g(5)=f(5)−f(1)g(5)=f(5)-f(1)

g(6)=f(6)−f(3)−f(2)+f(1)g(6)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1)

观察这些等式，发现这样一个规律：g(n)=∑d|nf(d)∗?g(n)=\sum_{d|n}f(d) * ?

进一步地我们发现上面的??与d无直接关系，而是与nd\Large \frac{n}{d}有关，我们将这个记为μ(nd)\mu(\Large \frac{n}{d})

则g(n)=∑d|nf(d)∗μ(nd)g(n)=\sum_{d|n} f(d) * \mu(\frac{n}{d})

这就是MöbiusMöbius反演，实际上是容斥原理在定义在整数集上的一个偏序关系的拓展。

Möbius反演的定义

f(n)=∑d|ng(d)<=>g(n)=∑d|nf(d)∗μ(nd)\Large f(n) = \sum_{d|n}g(d) <=> g(n)=\sum_{d|n} f(d) * \mu(\frac{n}{d})

μ(d)为Möbius函数，定义如下\mu(d)为Möbius函数，定义如下

(1)若d=1，则μ(d)=1(1)若d=1，则\mu(d)=1

(2)若d=p1∗p2∗...∗pk，则μ(d)=(−1)k(2)若d=p_{1}*p{2}*...*p_{k}，则\mu(d) = (-1)^k

(3)其余情况μ(d)=0(3)其余情况\mu(d)=0

Möbius反演的性质

性质一

对于任意正整数n,有∑d|n=[n==1]n,有\sum_{d|n} = [n == 1]

证明：利用二项式定理即可

性质二

μ(n)是积性函数\mu(n)是积性函数

证明：利用定义即可

性质三

f(n)是积性函数与g(n)是积性函数等价f(n)是积性函数与g(n)是积性函数等价

证明：略

Möbius反演的证明

证明：

g(n)g(n)

=∑d|nf(nd)∗μ(d)=\sum_{d|n}f(\frac{n}{d})*\mu(d)

=∑d|nμ(d)∑i|ndg(i)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\frac{n}{d}}g(i) 这时我们交换求和顺序

=∑i|ng(i)∑d|niμ(d)=\sum_{i|n}g(i)\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)

根据性质一，

i=n时∑d|niμ(d)=1i=n时\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)=1

其他情况时∑d|niμ(d)=0\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)=0

综上，得证

Möbius反演的变形

形式一：f(n)=∑d|ng(d)<=>g(n)=∑d|nf(d)∗μ(nd)f(n) = \sum_{d|n}g(d) <=> g(n)=\sum_{d|n} f(d) * \mu(\frac{n}{d})

形式二：f(i)=∑⌊ni⌋d=1g(d∗i)<=>g(i)=∑⌊ni⌋d=1f(d∗i)μ(d)f(i)=\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} g(d * i) <=> g(i)=\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} f(d * i)\mu(d)

形式二证明同形式一，略

Möbius反演的应用

方法一：构造函数法

应用一：g(n)很难直接求，但∑d|ng(d)g(n)很难直接求，但\sum_{d|n}g(d)很容易求

应用二：g(i)很难直接求，但∑⌊ni⌋d=1g(d∗i)很容易求g(i)很难直接求，但\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} g(d * i) 很容易求

方法二：运用公式法

公式一：∑d|nμ(d)=[n==1]\sum_{d|n}\mu(d) = [n==1]

公式二：∑d|nϕ(d)=n\sum_{d|n}\phi(d) = n

这里有一些常见问题的运用示范

http://blog.csdn.net/Lcomyn/article/details/47281717

四大要点

(1)公式推导：利用莫比乌斯反演推导出基本式子(1)公式推导：利用莫比乌斯反演推导出基本式子

要点：多往gcd上靠,lcm可以转化称gcd，新函数可以研究与gcd的关系gcd上靠,lcm可以转化称gcd，新函数可以研究与gcd的关系

(2)等价变换：变量替换，内层外移等技巧(2)等价变换：变量替换，内层外移等技巧

要点：常见的有对gcd(i,j)=dgcd(i,j)=d的替换，还有对pd=Tpd = T的替换，转换求和的思维方式，改变求和顺序

(3)线性筛法：预处理各种信息(3)线性筛法：预处理各种信息

要点：一般来说是一个奇怪的积性函数，利用筛法即可

(4)分块处理：归结到最后通过分块在根号时间内实现(4)分块处理：归结到最后通过分块在根号时间内实现