RBM学习算法

RBM基础

RBM模型是基于能量的模型。对于一组给定的状态(v.h),其能量函数为Eθ(v,h)=−∑i=1Nvaivi−∑j=1Nhbjhj−∑i=1Nv∑j=1Nhhjwjivi利用上述能量函数给出(v.h)的联合分布为Pθ(v,h)=1Zθe−Eθ(v,h)

其中，θ=(W,a,b),W=[wij]Nv∗Nh表示vi和hj之间的连接权重，a=(a1,a2,...,aNv)、b=(b1,b2,...,bNh)分别表示观测单元v,隐藏单元h的偏置。Zθ=∑v,he−Eθ(v,h)

RBM的学习算法

求解更好拟合训练数据的RBM参数θ,方法是使用极大似然法，极大似然函数为Lθ=Pθ(v)=∑hPθ(v|h)设训练样本集合S=(v1,...,vNs),对数极大似然函数为lnLθ,S=ln(∏n=1NsPθ(vn))=∑n=1NslnPθ(vn)

此时，RBM学习的目标为极大化上式，使用梯度上升(gradient ascent),通过如下的迭代格式来求解θ:=θ+η∂lnLθ,S∂θη是学习率，问题的关键是求解梯度∂lnLθ,S∂θ,省略Lθ,S中的θ,对于单个样本v计算似然函数lnLS=lnP(v)=ln(1Z∑he−E(v,h))=ln∑he−E(v,h)−lnZ=ln∑he−E(v,h)−ln∑v,he−E(v,h)

上式中红色v表示单个训练样本，黑色v表示任意的训练样本。针对单个样本v进一步计算梯度(省略了推导过程)∂LS∂θ=∂lnP(v)∂θ=−∑hP(h|v)∂E(v,h)∂θ+∑v,hP(v,h)∂E(v,h)∂θ上式中包含两个期望，第一个∑hP(h|v)∂E(v,h)∂θ为能量梯度∂E(v,h)∂θ在分布P(h|v)下的期望，对应每个训练样本数据遍历其可能的隐藏数据的值，可以求得；第二个∑v,hP(v,h)∂E(v,h)∂θ为能量梯度∂E(v,h)∂θ在分布P(v,h)下的期望,对应于每个可能的v求其隐藏数据的值，计算量非常大。其中，∑v,hP(v,h)∂E(v,h)∂θ=∑v∑hP(v)P(h|v)∂E(v,h)∂θ=∑vP(v)∑hP(h|v)∂E(v,h)∂θ因此，只需讨论∑hP(h|v)∂E(v,h)∂θ的计算，下面对θ=(wij,ai,bj)分别进行计算（省略推导过程）∑hP(h|v)∂E(v,h)∂wij∑hP(h|v)∂E(v,h)∂ai∑hP(h|v)∂E(v,h)∂bj=−P(hi=1|v)vj=−vi=−P(hj=1|v)对于单个训练样本v,各个梯度为

∂lnP(v)∂wi,j=−∑hP(h|v)∂E(v,h)∂wi,j+∑v,hP(v,h)∂E(v,h)∂wi,j=P(hi=1|v)vj−∑vP(v)P(hi=1|v)vj

∂lnP(v)∂ai=−∑hP(h|v)∂E(v,h)∂ai+∑v,hP(v,h)∂E(v,h)∂ai=vi−∑vP(v)vi

∂lnP(v)∂bj=−∑hP(h|v)∂E(v,h)∂bj+∑v,hP(v,h)∂E(v,h)∂bj=P(hi=1|v)−∑vP(v)P(hi=1|v)

以上是针对单个训练样本的情形，在整个样本空间S=v1,...,vns上有∂LS∂θ=∂lnP(vm)∂θ从而可得如下公式，∂lnP(v)∂wi,j∂lnP(v)∂ai∂lnP(v)∂bj=∑m=1Ns[P(hi=1|vm)vmj−∑vP(v)P(hi=1|v)vj]=∑m=1Ns[vmi−∑vP(v)vi]=∑m=1Ns[P(hi=1|vm)−∑vP(v)P(hi=1|v)]上述三个公式中，∑v项的计算复杂度为O(2Nv+Nh),可以通过MCMC方法如Gibbs进行采样，并用样本对∑v项进行估计。k步Gibbs抽样过程如下h(0)←P(h|v(0))h(1)←P(h|v(1))... ,v(1)←P(v|h(0)),v(2)←P(v|h(1)),v(k)←P(v|h(k−1))这样得到的v(k)可以用来估计上式中的∑v项,根据MCMC采样的思想，将上述三个式子进一步推导，并使用v(k)来近似可得

∂lnP(v)∂wi,j∂lnP(v)∂ai∂lnP(v)∂bj=∑m=1Ns[P(hi=1|vm)vmj−∑vP(v)P(hi=1|v)vj]≈∑m=1Ns[P(hi=1|vm)vmj−P(hi=1|v(k))v(k)j]=∑m=1Ns[vmi−∑vP(v)vi]≈∑m=1Ns[vmi−v(k)i]=∑m=1Ns[P(hi=1|vm)−∑vP(v)P(hi=1|v)]≈∑m=1Ns[P(hi=1|vm)−P(hi=1|v(k))]但是常规的gibbs采样的k需要足够大，才能使得采集到的样本符合RBM分布，Hinton教授发明了对比散度(Contrastive Divergence,CD)方法，通过使用训练样本集S中的观测数据vi来初始化v(0)来减少状态转移次数，具体做法是在算法的开始将可见状态v(0)设置为一个训练样本，并使用条件概率P(hj=1|v(0))对每个隐藏单元抽取0~1之间的概率值，然后利用P(vi=1|h(0))对观测单元抽取概率值，这样就得到v(1),一般v(1)就够了，即k=1,如下是CD-k算法的主要步骤：

CDK(k,S,RBM();Δw,Δa,Deltab)

- 输入：k,S,RBM(W,a,b)

- 输出：Dw,Da,Db

step 1 初始化：Δw=0,Δa=0,Δb=0

Step 2 对S中的样本循环生成Δw,Δa,Δb

FOR v∈S DO{v(0):=vFOR t=0,1,...,k−1 DO{h(t)=sample_h_given_v(v(t),RBM(w,a,b));v(t+1)=sample_v_given_h(h(t),RBM(w,a,b));}FOR i=1,2,...,Nv;j=1,2,...,Nh DO{Δwi,j=Δwi,j+[P(hj=1|v(0))v(0)i−P(hj=1|v(k))v(k)i];Δai=Δai+[v(0)i−v(k)i]; Δbj=Δbj+[P(hj=1|v(0))−P(hj=1|v(k))];}}其中，记phi=P（vi=1|h),i=1,2,...,Nv ,sample_v_given_h的计算可写成

FOR v∈S DO{generateRadom ri∈[0,1];vi={1,if ri<phi;0,otherwise.}

sample_h_given_v的计算与sample_v_given_h类似.

将上述的CD−k算法用于完整的RBM算法如下

Step 1 初始化

(1)给定训练样本集合S(|S|==Ns)

(2)给定训练周期J,学习率η以及CD−k算法参数k

(3)指定可见层和隐藏层的单元数目Nv,Nh

(4)初始化偏置向量以及权重矩阵(a,b,w)

Step 2 训练

FOR iter=1,2,...,J DO{CDK(k,S,RBM(W,a,b));UPDATE W=W+η(1NsΔW),a=a+η(1NsΔa),b=b+η(1NsΔb)}

使用Python实现上述算法的示例